算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)練習
【同步達綱練習】
知識強化：
一、選擇題
1.下列不等式中，對任意實數(shù)x都成立的是( )
A.lg(x2+1)≥lgx B.x2+1>2x
C.≤1 D.x+
≥2
2.已知a,b∈R，且ab≠0，則在①≥ab ②
≥2 ③ab≤(
)2 ④(
)2≤
這四個不等式中，恒成立的個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知a,b∈R+，且a+b＝1，則下列各式中恒成立的是( )
A.≥ B.≥4
C.≥ D.≤
4.函數(shù)y＝3x2+的最小值是( )
A.3-3` B.-3
C.6 D.6-3
5.已知x>1，y>1，且lgx+lgy＝4，則lgxlgy的最大值是( )
A.4 B.2
C.1 D.
二、填空題
6.已知a>b>c，則與的大小關系是 .
7.若正數(shù)a,b滿足ab＝a+b+3，則ab的取值范圍是 .
8.已知a,b,c∈R且a2+b2+c2＝1，則ab+bc+ca的最大值是 ，最小值是 .
三、解答題
9.已知a,b,c∈R，求證：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
10.(1)求y＝2x2+(x>0)的最小值.
(2)已知a,b為常數(shù)，求y＝(x-a)2+(x-b)2的最小值.
素質(zhì)優(yōu)化：
一、選擇題
1.已知f(x)＝()x，a,b∈R+，A＝f()，G＝f(),H＝f()，則A、G、H的大小關系是( )
A.A≤G≤H B.A≤H≤G
C.G≤H≤A D.H≤G≤A
2.已知x∈R+，下面各函數(shù)中，最小值為2的是( )
A.y＝x+ B.y＝+
C.y＝x+ D.y＝x2-2x+4
3.當點(x,y)在直線x+3y-2＝0上移動時，表達式3x+27y+1的最小值是( )
A.3 B.1+2
C.6 D.7
4.設M＝(-1)( -1)( -1)
，且a+b+c＝1，(其中a,b,c∈R+)，則M的取值范圍是( )
A.［0，］ B.［，1］
C.［1，8］ D.［8，+∞)
5.若a,b,c,d,x,y∈R+，且x2＝a2+b2,y2＝c2+d2，則下列不等式中正確的是( )
A.xy<ac+bd B.xy≥ac+bd
C.xy>ac+bd D.xy≤ac+bd
二、填空題
6.斜邊為8的直角三角形面積的最大值是 .
7.已知x,y,∈R+，且xy2＝4，則x+2y的最小值是 .
8.設x>y>z,n∈N，且≥恒成立，則n的最大值是 .
三、解答題
9.設n∈N，求證+…+<.
10.證明，任何面積等于1的凸四邊形的周長及兩條對角線的長度之和不小于4+2.
創(chuàng)新深化：
一、選擇題
1.設x∈R，且滿足+＝cosθ，則實數(shù)θ的值為( )
A.2kn(k∈Z) B.(2k+1)π(k∈Z)
C.kn(k∈Z) D.kn+(k∈Z)
2.對一切正數(shù)m，不等式n<+2m2恒成立，則常數(shù)n的取值范圍是( )
A.(-∞，0) B.(-∞，6)
C.(6，+∞) D.［6，+∞)
3.若a,b,c∈R，且ab+bc+ca＝1，則下列不等式成立的是( )
A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3
C.≥2 D.abc(a+b+c)≤3
4.已知a,b是不相等的正數(shù)，在a,b之間插入兩組數(shù)x1,x2,…,xn，和y1,y2,…，yn，使a,x1,x2,…,xn,b成等差數(shù)列，a,y1,y2,…,yn,b成等比數(shù)列，并給出下列不等式.
① (x1+x2+…+xn)>()2
② (x1+x2+…+xn)>
③<
④<()2
則其中為真命題的是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
5.某種汽車購車時費用為10萬元，每年的保險、養(yǎng)路、汽油費用共9千元，汽車的維修費逐年以等差數(shù)列遞增，第一年為2千元，第2年為4千元，第三年為6千元，……問這種汽車使用幾年后報廢最合算?(即汽車的平均費用為最低)( )
A.8年 B.9年
C.10年 D.11年
二、填空題
6.已知0<x<1，a、b為正常數(shù)，則y＝的最小值是 .
7.已知a,b∈R，且a>>0，則a+的最小值是 .
8.sin4αcos2α的最大值是 ，此時，sinα＝ ,cosα＝ .
三、解答題
9.在兩個正數(shù)x、y之間，插入一個正數(shù)a，設x，a，y成等比數(shù)列，另插入兩個正數(shù)b,c,設x,b,c,y成等差數(shù)列，求證：(a+1)2≤(b+1)(c+1).
10.已知a>0,b>0,c>0,a+b+c＝1.求證：(1+)(1+)(1+)≥64.
參考答案
【同步達綱練習】
知識強化：
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A
6.≤ 7.［9,+∞) 8.1，- 9.∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2相加得a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,∵a2b2+b2c2≥2b2ac,b2c2+c2a2≥2c2ab,c2a2+a2b2≥2a2bc相加得a2b2+b2c2+c2a2≥b2ac+c2ab+a2bc＝abc(a+b+c). 10.(1)y＝2x2++≥3.(2)y＝(x-a)2+(b-x)2≥
素質(zhì)優(yōu)化:
1.A 2.A 3.D 4.D 5.B
6.16 7.3 8.4 9.左邊<+…+ (1+2+…+n)+［2+3,+…+(n+1)］＝
10.如圖，設凸四邊形ABCD邊長依次為a,b,c,d，對角線AC與BD交于O點，設AO＝e，CO＝f，BO＝g，DO＝h.∴1＝SABCD＝(eg+gf+fh+he)sin∠AOB≤(e+f)(g+h)≤()2,∴e+f+g+h≥＝2.又2＝2SABCD＝absinB+bcsinc+cdsinD+dasinA≤(ab+bc+cd+da)＝(a+c)(b+d)≤ ()2,∴a+b+c+d≥4，從而命題得證.
創(chuàng)新深化:
1.C 2.B 3.B 4.B 5.C
6.(a+b)2
7. 8.，±,±
9.依題意,即,∴(b+1)(c+1)＝bc+b+c+1＝+x+y+1＝［2(x2+y2)+5xy］+(x+y)+1≥ (4xy+5xy)+2+1＝(+1)2＝(a+1)2.
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