[導讀]全國高考第一天的內容已經結束了，本期騰訊嘉賓聊天室請來北京市數(shù)學特級教師李錦旭老師來點評今年的高考數(shù)學試題。
北京市數(shù)學特級教師、101網校特聘講師 李錦旭
特點一：著重考察數(shù)學基本概念
主持人翟東海：各位網友大家好！歡迎大家來到騰訊嘉賓聊天室，我是主持人東海。今天這會兒已經結束了今天2011年高考的前兩門科目語文和數(shù)學。剛才我們請來了語文名師來為我們做了語文試卷和作文的點評，現(xiàn)在我們非常榮幸地請到了北京市數(shù)學特級教師李錦旭老師來到騰訊演播間，為大家來解讀一下今年的高考數(shù)學試題，歡迎您李老師。
李錦旭：各位網友辛苦了！
主持人翟東海：李老師說各位網友辛苦了，其實真的是辛苦了。我們的網友準備了那么長時間來迎戰(zhàn)高考，那么今天上午是賽程過半，考了兩門非常重頭的語文和數(shù)學，我們也注意到李老師特意地穿了一個紅色的體恤衫，跟大家介紹一下為什么？
李錦旭：我剛才從考場上過來。穿紅衣服，中國人的傳統(tǒng)是紅衣服喜慶、吉利、火熱、必勝。
主持人翟東海：也給您的學生一種必勝的信念。您也介紹過了，剛才您是從剛剛從我們的考場回來。就您從考場上得到的第一手的消息，看到的第一手的情況，考生對我們今年數(shù)學的考試總體的反應是什么樣的？
李錦旭：學生總體的反應還是很好的，看起來表情比較輕松。
主持人翟東海：反正我上學那會兒我最頭疼的就是數(shù)學了，如果數(shù)學考試能讓我輕松，我想底下的考試我就會更有信心。我們繼續(xù)回到今年的高考數(shù)學的試題上我知道您也是剛剛拿到了高考數(shù)學全國卷的試題，您的學生考的是北京的卷子，而我們很多的網友是做全國卷的，您能不能結合您手頭的全國卷，給我們分析一下今年高考數(shù)學有什么樣的趨勢？
李錦旭：好，拿到這份試卷是全國A卷，時間很短我瀏覽了一下，也大體上做的一部分。總體感覺是試題的面貌新，試題的基本排列結構是由易到難，但也不完全是這樣。這樣有利于穩(wěn)定考生的情緒，有利于考生水平的發(fā)揮，有利于各個層面的考生的發(fā)展。因為現(xiàn)在試題的核心指導思想是由知識立意到能力立意，再到數(shù)學文化兼顧，具體體現(xiàn)在以考察、主干和核心知識為載體來考察數(shù)學的思維方法，考察數(shù)學的本質。如果具體的對試卷做一些細的分析，我想談這樣幾個方面的問題。
一個是試卷著重考察了數(shù)學的基本概念，包括基本運算，包括基本的法則、基本的定理，還有課本上介紹的比較有用的結論。比如說，第一題考察了復數(shù)、代數(shù)形式的乘法、加法運算，第二個是反函數(shù)也很基本。第三個題是考察了充要條件，以非常簡單的小不等式為載體來考察它。
主持人翟東海：都是比較基本的題。
李錦旭：對，非常基本。
主持人翟東海：我也覺得很基本，我的高考已經過去整整十年了，我對這些概念還有印象，所以我覺得大家本身不是學理科的，所以我覺得應該是很基本的題。
李錦旭：這些很基本的題我覺得不要很細致的解讀，考生從前往后做，基本上做這個題以后很容易上手也很容易穩(wěn)定考生的情緒，然后他可以很有信心地繼續(xù)向下做。
主持人翟東海：這也是我們命題人的一個意圖。
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北京市數(shù)學特級教師、101網校特聘講師 李錦旭
特點二：深度考察主干知識和核心知識
李錦旭：第二個特點我感覺是主干知識和核心知識的深度考察。這里面主要體現(xiàn)在第10、11、12、16等等這些題目上。
主持人翟東海：這些題目您說它考察的是我們主干知識跟核心知識的深度考察。
李錦旭：對。
主持人翟東海：我是不是可以這樣理解，就是說所謂深度就不是很表面化的，考一個概念我知道這個概念是怎么回事就可以答出這道題而是需要經過思考和里面有彎或者是有一些知識的結合，我才能把這道題做出來？
李錦旭：對，多少有一些這方面的體現(xiàn)。舉一個例子，比如說第10題，這個題目是一個解析幾何的選擇題，涉及到拋物線。你需要讀完了題以后畫出一個示意圖來。這是一個開口向右的拋物線，然后還有一條直線是Y=2X-4，過20點，和拋物線交于a、b兩點，畫出一個圖以后，連接Fa、Fb，構成一個三角形ABF，做這個題根據讀完這個題畫出這么一個示意圖考慮解題的思路，角AFB的余旋值。求三對邊ab，也是解析幾何里面很主體就是直線和圓規(guī)曲線的位置關系，可以用兩點間的距離來且出ab的長度。
主持人翟東海：這個點本身是一個主干知識或者說是基本的知識。
李錦旭：對，是基本的當然也是主干的。求af和bf這個主干，具體求ab點的坐標和焦點f的坐標另外一方面也可以利用拋物線的定義，可以通過連接直線和拋物線的方程，把兩個坐標點求出來之后，使用原定理可以獲得余旋值。
主持人翟東海：這個是您所說的有機點的幾個融合。
李錦旭：難度不是很大，但結合得很好。
主持人翟東海：而且求那個長度可能有不同的方法，而不同的方法可能所耗費的時間和精力是不一樣的，這也考察了學生對知識點是不是可以靈活應用，如果說可以靈活應用了解題的時間就可以靈活地縮短。
李錦旭：比如說第11題是一個立體幾何的問題。體現(xiàn)了立體幾何里轉化的思想，就是求面，有一個截面，在過截面圓的圓心做一個截面，這兩個截面成了60度的二面角，把空間結構想清楚，取一個球面的大圓做一個典型的截面，這個題由一個立體幾何的問題轉化成平面幾何的問題。這是考察空間想象能力是比較典型的?？梢杂靡粋€劃歸的思想，求大圓的半徑，然后做的這么一個大圓，這里面可以借助于相交旋訂立可以具體地把半徑求出來，然后就得到了我們需要的截面圓的半徑，然后那個圓a的面積也就出來了。這對空間想象能力，通過這種想象能力的轉化，是一個非常典型的問題，這也是我們解讀立體幾何的動態(tài)問題常用的方法。
主持人翟東海：這是您說的第二個特點，對主干知識的深入的考察。
李錦旭：當然也包括一些靈活的考察了。比如說第12小題，也有機地體現(xiàn)出這個特點。這個試題設計的背景是以平面項量，數(shù)量級是-1/2。等于是這兩個項量的夾角是120度，尋找一個主條件的幾何意義。兩個動態(tài)的項量的夾角不變是60度，我們首先為了簡化這個問題，可以講項量A、項量B取兩個特殊的位置，只要使夾角是120度就夠了。然后找動的項量C，讓這兩個項量的差項量夾角始終保持是60度，然后看項量C的變化范圍這是一個動態(tài)題的考察，這就是非?？疾鞂W生的能力了。
特點三：突出學科特點，深入考察對于數(shù)學本質的認識
主持人翟東海：深入考察的還有沒有其他的題型或者說我們除了這兩個特點之外，今年的命題還有什么其他的特點？
李錦旭：深度考察的第16小題也是一個靈活考察題。
主持人翟東海：我沒有記錯第12小題是選擇題的最后一題，16小題是填空題的最后一題，看來最后一個題是比較難的。
李錦旭：不過第16題也有一個比較快的做法。畫出這個圖來看一看它的背景是一個正方體，那個截面，一個點是側棱的2/3、一個是1/3，平時我們也經常訓練這種題。如果按一般的思路求解，要通過新一點的背景找出二面角的平面角，然后再解三角形求解。如果我們利用課本上介紹過的一個結論，就是這兩個半平面所成的二面角上的余旋值應該等于底面的三角形的面積，直接用結論來做就快得多。如果平時做有心人這么積累了，做得就要快一些。
主持人翟東海：這個是我剛才強調過的，如果我們平常有足夠的積累，我們對這個知識理解得很深入、很靈活，那么可能有些題，像我這樣數(shù)學不是很好的就得做好一會，可能還做不對，程度好靈活掌握的就可以花很少的時間把分數(shù)拿到了。
李錦旭：從這方面也體現(xiàn)了對數(shù)學理解。如果說平時用心做積累，或者說你有意地進行一些方面的訓練，可能拿過來同樣的一個題目，平時想的多上手就快得多，上來就能尋求比較簡潔、有效的解題思路和方法，這正好也體現(xiàn)了高考的選拔功能，區(qū)分度在這上面也有所體現(xiàn)了。這算是第二個小特點。
主持人翟東海：深入地考察主干知識。
李錦旭：對。第三個特點我感覺是突出了學科的特點，深入考察對于數(shù)學本質的認識。
主持人翟東海：對數(shù)學本質的認識？
李錦旭：對。比如說有些題目在知識的交匯處設計試題，靈活深入地考察數(shù)學的本質。
主持人翟東海：那么有沒有一些很好的例子？
李錦旭：剛才我舉的那個第12題，就很好地體現(xiàn)了這個問題。它是以項量為載體，通過運動變化的觀點從某種程度上說是尋求項量問題動態(tài)的變化過程，這個過程這里面就有機地體現(xiàn)出你的數(shù)學能力、數(shù)學的本質上的一些差異。需要對數(shù)學的本質進行一些很好的理解。
其實這樣的觀念也體現(xiàn)在比較基本的題目里面，比如說這里面選擇題的第6題。是在一個直二面角的背景里，求地點到平面ABC的距離，如果說直接找不是不能找，能找，相對來說要麻煩。而且那個垂足落在什么地方還要好好地考慮考慮。如果能夠從數(shù)學的特點和本質上看問題，那這個題目我們可以考慮等體積轉化，直接過地點向平面ABC做垂線，第一感覺不好做，我就可以考慮用三棱錐等體積轉化，我就設距離為D一個變量，然后我交換一下頂點，同樣這個三棱錐，我把B點看成頂點，底面是ACD，在平面角里高就非常地明確，之后用1/3底乘高很快就得到來解。還有第七小題是排列組合的問題，某同學有同樣的畫冊，兩本，同樣的集郵冊三本，要抽出不同的四本，送給四位朋友，有什么樣的方式。你出這四本應該是什么樣的，這就體現(xiàn)了數(shù)學里分類的思想，應該是兩類，一類是兩本畫冊，兩本集郵冊。第二是一本畫冊三本集郵冊。同一類當中這幾本是相同的，所以說你要解決這個問題怎么贈送給人?。勘热缯f，我拿的是兩本畫冊、兩本集郵冊那我就可以從四個人當中選兩個人給畫冊，因為給的兩本是一樣的，只要選對人對應的方法就唯一了。同樣的，剩下的那兩本，自然送給另外兩個人，方法就唯一了。同樣的方式一本畫冊和三本集郵冊，我只考慮從四個人當中選出一個人，贈送那本畫冊剩下的那三個人自然拿集郵冊就不用問了所以說總的方式是C42+C21就是兩類。在所取得的元素有相同有不相同的情況下，怎么樣把組合的模型建立起來。這里面還體現(xiàn)了分類的思想，非常典型。
另外第9小題，這里面牽扯到函數(shù)的周期性、奇偶性，在一個小區(qū)間上的解析表達式，從具體的函數(shù)值。這里面有機地體現(xiàn)了函數(shù)知識的綜合運用，最終我們通過周期性和奇偶性，把要求的F那個-2/5轉化到已給的小區(qū)間0-1上，我們可以套相應的值計算了。這就體現(xiàn)了轉化。轉化本身就是數(shù)學上面非常重要的一種思維方式，不僅僅是一種思維方式，它還是一種非常非常重要的數(shù)學思想?？梢哉f，高考常考的幾種數(shù)學思想，比如說第一函數(shù)與方程的。第二，數(shù)形結合的思想。第三，分類討論思想。第四是等價轉化與劃歸思想?；旧隙际怯棉D化去概括與歸納的。你像函數(shù)與方程的思想，往往需要用函數(shù)和方程轉化的思想去解決問題，一些比較綜合性和復雜性的問題可以這么考慮。這就體現(xiàn)了函數(shù)與方程的轉化。本身就是把實際問題，通過概括、抽象轉化為數(shù)學的問題，本身也就體現(xiàn)了轉化。
主持人翟東海：包括您剛才所說的等體積轉化。
李錦旭：對，那也是一種轉化，非常靈活的其實也是很基本的一種轉化。
分類討論，當面對的數(shù)學問題比較復雜的時候，難以用統(tǒng)一的方式去向下處理或者是變形，那我們就可以根據實際情況分類去處理它。分類處理的策略本身也就體現(xiàn)了一種轉化。另外等價轉化與劃歸本身也是轉化。還有數(shù)形結合，數(shù)和形之間的相互轉化。恩格斯先生就對數(shù)學有一個概括，說轉化是數(shù)學的杠桿。
主持人翟東海：有杠桿就可以撬動數(shù)學的難題。
李錦旭：對，可以調動很多的思維。
特點四：試題含創(chuàng)新元素，學生答題需跳出常規(guī)思維
主持人翟東海：還有沒有其他的特點？
李錦旭：還有我感覺到今年的題目拿到的這份題里面，有創(chuàng)新的東西。但往往要跳出學生的常規(guī)思維。
主持人翟東海：學生是不是不太喜歡這樣的題目？
李錦旭：他不是不太喜歡，因為這些題目他不是通過背題型和知識能夠解決的，而是需要一種深度的思考。有些時候，你是通過這些準備是準備不來的，因為每年的試題里面基本上都有一兩道創(chuàng)新的新題型，這種新題型就是你表面上看我們是有一些見過的，但如果細細地思考，上手本身就有一定的思維度。然后你要想深入那肯定是有一定的困難的。這就需要我們通過平時的復習，培養(yǎng)出的能力去應對這些東西。
主持人翟東海：這同時也是我們高考作為選拔所必備的特點。
李錦旭：高考畢竟是選拔性的考試，注定要體現(xiàn)出能力的分層，有能力的區(qū)分度。
主持人翟東海：不能說每道題都似曾相識，命題就不成功了。
李錦旭：這里面比較典型的是選擇題的最后一個題，以項量為載體，那通過運動變化的觀點去考察，它其實是一種動態(tài)的考察。平時你盡管對學生進行一些這方面的引導，但這畢竟是屬于對數(shù)學本身的深度的考察，需要學生能靈機應變，而且從動態(tài)的觀點來看，因為世界上的萬世萬物都是運動變化的，在運動變化里面考察問題的本質。那這種東西可以說是你平時很難去做準備能夠獲得的。需要你從這里面訓練出一些能力并體現(xiàn)出來。
主持人翟東海：肯來全國卷的第12題應該是一個很好的題目。我感覺您講的幾個特點它都具備了。
李錦旭：還有最后第22題的第2道小題。這個概率結論是證一個不等式，這種題目平時可能學生訓練的就少，對學生來說這是一個很好的挑戰(zhàn)。這也是為能力比較強的學生做準備的，因為本身做到最后可能剩的時間也不多了，所以本身它體現(xiàn)出一個思維上的一些深度的東西。
主持人翟東海：像我當年高考的時候，最后一題基本上是屬于戰(zhàn)略性放棄的題目，老師也說過，題目雖然是最后一題但也可能是分幾問，可能是由易到難的深入，你能答多少就答多少。
李錦旭：從應試的角度，從得分的角度來看，最后一個題也不一定要花多少時間去做它。但是說從能力培養(yǎng)的角度，最后一題是可以考察考生的能力的，而且特點也很強。
支招：
1、高考數(shù)學復習=老師引導+學生主動學習
主持人翟東海：剛才您結合今年您拿到的全國卷的命題的特點給我們講了一些具體的題目，那么可能我們今天觀看節(jié)目的除了剛剛考完考試的學生之外，還有我們即將進入高三的準高考生們。那么您作為一名負責優(yōu)秀的數(shù)學老師，您今年也是班主任親歷了今年的高考，您覺得今后的這些高考生或者是我們馬上要進入高考的學生，結合今年的命題的特點，他們應該做哪些準備呢？
李錦旭：做準備的問題我想首先進高三的復習，對每一個章節(jié)、知識點都要熟練掌握，除了你掌握知識還要以知識為載體進行思維訓練，然后深入到問題的本質，才能對這個東西有一個深入的認識。真正的以不變應萬變的東西就是以知識為載體，要訓練你的思維、訓練你的能力。
2、要用變化的眼光和發(fā)展的眼光看問題，把陌生的問題轉化成熟悉的，復雜的問題轉化成簡單的
主持人翟東海：不能滿足于這道題我會做，我做對了，而是說知道這道題考察的是什么？我能不能有更好的方法考察它？訓練的是我哪方面的思維，這平時要靠老師的引導讓學生自覺地培養(yǎng)出這樣的習慣。
李錦旭：對，老師引導是必要的，同時我覺得學生的學習更是需要主動的。因為到任何時候，外因是變化的條件，內因才是變化的根據。通過我們老師這方面的引導，讓學生應該有這么一個觀念，當然你掌握知識是重要的，我覺得更重要的是掌握學習知識的方法，要有一種終生學習的理念。因為到任何時候這個題目是非常多，甚至可以說是無限的。我們要想通過有限的知識獲得我們所需要的能力，那必須深入到問題的本質，深入理解它。學會用數(shù)學的思維去分析解決問題，掌握知識和學習的方法。
主持人翟東海：其實您剛才提到的有關轉換的幾個思維方式，您剛才提到的是數(shù)學的轉化思想，其實我覺得對數(shù)學是非常重要的。
李錦旭：其實從某種程度來講，不僅是數(shù)學，對我們做任何的工作、分析問題和思考問題都是非常重要，因為你往往面對的問題是比較復雜的，而且無時無刻不在變化的，就需要我們用變化的眼光和發(fā)展的眼光看問題。
主持人翟東海：就是把陌生的東西通過轉化的思想轉化為熟悉的。
李錦旭：陌生的轉化成熟悉的，復雜的轉化成簡單的。
點評：數(shù)學試題難度變化不大，利于考生發(fā)揮水平；同時有所創(chuàng)新，體現(xiàn)時代精神
主持人翟東海：我想這也是李老師給我們這些即將進入高三的準高考生們一個非常好的學數(shù)學的建議。就您剛才通過學生出考場這樣一種表現(xiàn)，再結合您手里拿到的這份卷子，您覺得今年題目的難度跟往年相比有一個什么樣的變化？或者說是您覺得變化不大？
李錦旭：縱觀近三年來，比如說08年一直到今年我覺得難度的變化并不是很大，這種平穩(wěn)有利于考生的水平的發(fā)揮，也有利于在平穩(wěn)的基礎上有所變化、有所創(chuàng)新。
主持人翟東海：那就是說今年您覺得難度不大，考生的水平每年都差不多，其實這種命題是相對穩(wěn)定的，以后分數(shù)也可能是相對穩(wěn)定的趨勢是嗎？
李錦旭：現(xiàn)在很多省市已經進入新課改，新課改的理念也不斷地在滲透。但是無論是新課改還是老課改的試題，它都是以知識為載體考察能力，這是毫無疑問的，要體現(xiàn)出探究性、實踐性，體現(xiàn)出時代的精神。
主持人翟東海：正如李老師介紹的，雖然我們的數(shù)學命題有很多的變化，我們剛才說有很多的題目也有創(chuàng)新，但是萬變不離其宗，我們這種數(shù)學的思想和本質是放在那兒，是不變的。那么我們用好的方法來深刻的理解數(shù)學，我想可能對很多的學生來講數(shù)學將不是難事。包括我剛才聽了您對題目的講解之后我就覺得我本身是一個數(shù)學不太好的學生，我都覺得確實用這樣的思路去考察一個題目可能就會把它變得簡單起來。
那么今天也是我們考試高考的第一天，明天考生還會繼續(xù)第二天的考試，您作為班主任和任課老師有什么要說的？
李錦旭：今天我們過來了，從一定程度上講可能感覺到很輕松，也可能在某一個小地方感覺到不是很順利，也不是感覺到特別容易。但是這都是正常的，關鍵我們還需要用正確的心態(tài)、高昂的情緒去面對明天的考試。在此，我要祝愿我的學生、祝愿全國各地的考生能考出一個好的成績。
主持人翟東海：也特別祝愿現(xiàn)在還在收看我們節(jié)目的騰訊網友能有好的成績。
李錦旭：有一個圓滿的答卷。
主持人翟東海：也不忘李老師穿了紅衣服表達自己的祝愿，由于時間的關系我們的訪談就結束了，非常感謝李錦旭老師做客我們的聊天室，跟我們分享您對數(shù)學高考的理解，借您剛才的話，祝愿我們所有的高考生都能取得自己理想的成績，希望大家明天再接再勵。我們今天的節(jié)目就到此結束。再見！
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