有限元梁結(jié)構(gòu)
前面學完了材料力學里面關(guān)于梁彎曲的基本內(nèi)容，本節(jié)接著前面部分繼續(xù)學習梁結(jié)構(gòu)，ANSYS里面3D梁單元主要有三種：Beam161、Beam188以及Beam189。在初學階段我們僅了解Beam18X單元即可。
單元基礎(chǔ)知識
Beam188是一種3D梁單元，包含有兩個節(jié)點，每個節(jié)點有六個或者七個自由度。通常每個節(jié)點包含三個移動自由度和三個轉(zhuǎn)動自由度，第七個自由度為可選狀態(tài)，如果選擇第七個自由度表示考慮橫截面扭曲。
Beam188是基于Timshenko梁理論。該理論為一階剪切變形理論，橫截面上的橫向剪應(yīng)變?yōu)槌?shù)，也就是說在變形以后橫截面仍然保持為平面，不會發(fā)生扭曲。
Beam188可以用于分析細長至中等厚度的梁。這是因為在細長梁的結(jié)構(gòu)分析中，剪力彎曲條件下，其橫截面上的剪應(yīng)力對正應(yīng)力的影響可以忽略。但是短粗梁橫截面上需要考慮橫截面上的剪切效應(yīng)，也因此在強度校核的時候需要檢核剪應(yīng)力。Beam188基于一階剪切變形理論，橫截面上的剪應(yīng)變?yōu)槌?shù)，則無法考慮實際條件下的剪應(yīng)力，因為我們前面對橫截面做理論分析表明：橫截面上的剪應(yīng)力在位于中性軸上的點處是最大的，而橫截面邊緣處是為0的，整個橫截面顯然就不是一個常數(shù)分布狀態(tài)。因此，采用一階剪切變形并不適合于短粗梁，注意一點，工字形截面梁我們近似認為整個截面上的剪切應(yīng)力均勻分布。
通過梁結(jié)構(gòu)的細長比來判斷單元的可用性，即（GAL^2）/（EI）數(shù)值的大小。G為剪切模量、A為橫截面面積、L為構(gòu)件長度、EI為抗彎剛度。官方推薦細長比大于30使用該單元。
Beam188不使用高階理論來考慮橫向剪應(yīng)力分布的變化情況，如果一定要考慮這種分布的變化，則使用實體單元模擬。
Beam188可以使用第七個可選的自由度來考慮約束扭曲，要注意是每個節(jié)點都有七個自由度。默認情況下假設(shè)橫截面的扭曲是極小的，小到可以忽略不計，如果你要考慮就激活第七個自由度。
beam188默認情況下，KEYOPT(3) = 0 (linear, default)，單元的形函數(shù)是線性的，沿著長度方向僅有一個積分點。前面有限元理論的部分提到過，如果形函數(shù)（位移模式）是線性的，意味著它是常應(yīng)變單元，那么單元沿著長度方向其求解量為常量。這種情況好嗎？有利亦有弊。利在于其適合剛性比較大的梁，或者要與一階殼單元相互連接的使用。那么弊端也很明顯，如果是柔性比較大的梁呢，沿著長度方向其力學量是常數(shù)就不合適了。KEYOPT(3) = 2 (quadratic)，在插值模式中包含內(nèi)部節(jié)點，有效地使beam188基于二次形函數(shù)。包含兩個積分點，因此沿著長度方向的求解量是線性變化的。因此它能夠很好的表現(xiàn)一次變化的彎矩。KEYOPT(3) = 3 (cubic)，包含兩個內(nèi)部節(jié)點，三次形函數(shù)?？梢跃_的表示二次變化的彎矩。沿長度方向包含三個積分點，沿長度方向求解量是二次變化的。經(jīng)典的三次方插值（Hermitian Formulations）是插值所有的位移和旋轉(zhuǎn)。以下情況 應(yīng)該考慮采用二次插值：與錐形截面相關(guān)的，單元上存在非均勻載荷，單元有可能經(jīng)歷高度的非均勻變形。
Beam188允許橫截面的慣性矩隨著軸向伸長率發(fā)生變化，默認情況下，橫截面面積會發(fā)生變化以保留變形之后的體積，適合于彈塑性分析。
Beam189為二次形函數(shù)三節(jié)點3D梁單元，默認情況下每個節(jié)點有六個自由度，第七個為可選的自由度。彎矩是線性變化的。
軟件模擬梁彎曲
DM建模
我們在DM中利用概念建模，建立如下的等截面直梁。將三段合成一個Part，賦予統(tǒng)一截面，統(tǒng)一材料。矩形橫截面，高度為20mm，寬度為10mm，整根梁的長度分布如下圖所示：
Mechanical設(shè)置邊界
左側(cè)采用固定鉸鏈支撐，使用簡單支撐或者位移約束（約束三個方向移動自由度）+ 固定旋轉(zhuǎn)自由度，并且釋放繞著Z軸旋轉(zhuǎn)自由度。右側(cè)采用活動鉸鏈支撐，使用位移約束和固定旋轉(zhuǎn)自由度，位移約束釋放軸向自由度，固定旋轉(zhuǎn)釋放繞Z軸轉(zhuǎn)動自由度。兩側(cè)各施加豎直向下集中力載荷1e5N。材料使用默認線性結(jié)構(gòu)鋼。
查看分析結(jié)果
整體變形量（未考慮橫截面影響）
在沒有考慮橫截面變形的情況下，即橫截面在變形以后仍然保持為平面，得到如下結(jié)果，注意將視圖菜單（View）下的【Thick shells and beams】勾選上即可顯示如下立體圖示：
我們觀察上圖可見，最大變形位于梁端，大小為1.5544。最小變形位于支撐邊界處，大小為0，邏輯上是符合我們加載的實質(zhì)的。接著觀察圖示梁，發(fā)現(xiàn)所有的彩色條紋都是筆直的，那么對應(yīng)的面也就是平直面。變形前后保持一致，這個與我們材料力學做純彎曲實驗假設(shè)的條件是一致的。再接著看一開始施加的邊界條件，兩個支點之間是沒有剪切力的。在彎曲的情況下，僅存在正應(yīng)力，而沒有剪應(yīng)力，是符合純彎曲條件的。該梁結(jié)構(gòu)的兩個支點之外到梁端明顯是存在著剪應(yīng)力的，所以橫截面是否發(fā)生剪切變形呢？如果還是如上圖保持平直合適嗎？我們尚未學習彎曲變形量的計算，這里就不做數(shù)據(jù)驗證了。
整體變形量（考慮橫截面影響）
在Solutions的明細欄里面，設(shè)置【Beam section results】為Yes。如果軟件版本比較老，可能沒有該選項。觀察如下結(jié)果：
觀察上面的圖示，我們發(fā)現(xiàn)最大最小變形的位置是沒有改變的，但是數(shù)值大小變了。考慮橫截面的影響以后，其最大變形量增加了。接著觀察變形的云圖，我們發(fā)現(xiàn)在兩個支撐條件之外，其云圖彩色條紋明顯是曲的，相比較沒有考慮橫截面影響的時候特別明顯。兩個支撐點之間的云圖條紋有一點扭曲，這說明橫截面稍有變形，近乎平直。因為兩個支撐之間是純彎曲，沒有剪切力，因此橫截面上只有正應(yīng)力，沒有剪應(yīng)力，也就是說兩個支撐點之間橫截面上基本上沒有剪切變形。因此，考慮了橫截面的影響，其顯然是更加符合實際的。
應(yīng)力（未考慮橫截面影響）
我們可以使用梁工具查看它的應(yīng)力情況，包括：軸向應(yīng)力（Direct Stress）以及組合應(yīng)力。
上圖表明，軸向應(yīng)力為0，所以最小組合應(yīng)力就對應(yīng)最小彎曲應(yīng)力，最大組合應(yīng)力就對應(yīng)最大彎曲應(yīng)力。最小彎曲應(yīng)力處于純彎曲的梁段。大小為-3000MPa，最大彎曲應(yīng)力亦是位于純彎梁段。從彩色條紋的狀態(tài)（筆直）可見其橫截面都是保持平直的。觀察整個云圖，在縱向截面內(nèi)，同一梁段應(yīng)力從梁上邊緣到下邊緣一樣大，在橫截面內(nèi)，同一梁段的應(yīng)力完全一致（觀察顏色）。這與我們材料力學學到的完全不同啊，材料力學指出：在縱向截面內(nèi)，其拉壓應(yīng)力與矩中性軸遠近而成正比，云圖應(yīng)該是正零負這樣分層才合理啊。而橫截面內(nèi)的正應(yīng)力，上邊緣、中間、下邊緣也應(yīng)該該呈現(xiàn)分層的彩色條紋才合理啊，這里為什么都一樣呢？
前面我們給出的有限元梁單元Beam18X已經(jīng)介紹到了，18X的梁單元其基于一階剪切變形理論，即在整個橫截面內(nèi)其剪切應(yīng)力是一個常數(shù)：
18X梁單元不考慮橫截面上的剪切應(yīng)力分布的變化，換句話說橫截面上的剪切應(yīng)力是一個常量。從橫截面上的上邊緣至下邊緣，在整個面上均勻分布。顯然這與我們材料力學是不同的，ANSYS軟件指出，如果你想要考慮橫截面上剪切應(yīng)力的分布變化，你需要用實體單元模擬，梁單元不行，我們待會兒用實體單元看看。那我們Workbench里面可以展示橫截面上的常值剪切應(yīng)力嗎？自然是可以的，老規(guī)矩：命令流。關(guān)于橫截面上的剪應(yīng)力我們需要知道如下內(nèi)容：剪切應(yīng)力是由于扭轉(zhuǎn)和橫向載荷產(chǎn)生的，默認情況下僅僅輸出扭轉(zhuǎn)所致的剪應(yīng)力?？梢允褂肒EYOPT(4)激活由于彎曲和橫向載荷導致的剪應(yīng)力。換句話說，如果我們不使用KEYOPT(4)單元關(guān)鍵字激活，那么我們這根梁橫截面上的剪應(yīng)力應(yīng)該是0，因為此梁不存在扭轉(zhuǎn)載荷。根據(jù)這個思想，我們需要獲取梁橫截面面積，橫截面剪切力，如下所示：
smisc13！用于獲取beam188橫截面面積smisc5 ！用于獲取beam188的XZ平面剪切力smisc6 ！用于獲取beam188的XY平面剪切力
帶有“ ！” 為注釋部分，另外需要注意并非需要都獲取，自己挑選需要的。
我們使用自定義函數(shù)來獲取橫截面上剪切應(yīng)力：
smisc5/smisc13 ！
beam18X梁的橫截面上剪切應(yīng)力為一個常數(shù)，并不展現(xiàn)其剪切應(yīng)力分布的變化，得到如下結(jié)果：
觀察上圖，我們發(fā)現(xiàn)純彎曲梁段似乎與理論分析以及上面的有限元分析對不上，怎么中間竟然還有幾十兆帕的剪切應(yīng)力呢，不是說純彎曲嗎，難道軟件犯錯了？如果想要觀察云圖的表現(xiàn)，不能僅僅看顏色示意，還需要觀察其對應(yīng)的數(shù)值。我們使用探針探測純彎曲的梁段，看看其色條對應(yīng)的剪切應(yīng)力到底是多大，得到如下的圖示：
觀察上圖，可見純彎曲梁段橫截面上的剪切應(yīng)力數(shù)量級都在-12到-11，近乎是0，是符合我們先前的分析的。特別注意：在這里我們得到的是橫截面平均剪切應(yīng)力，這與Beam188設(shè)置4號單元關(guān)鍵字得到的不是同一個值。默認4號關(guān)鍵字得到扭轉(zhuǎn)所致橫截面剪切應(yīng)力，這里應(yīng)該為0。
關(guān)于考慮橫截面上的影響的考慮，看了下結(jié)果，發(fā)現(xiàn)沒啥變化，不截圖了。
彎矩圖
剪力圖
剪力彎矩圖
梁的主要力學響應(yīng)是沿著軸向的，以彎曲為主，受到的載荷主要是橫向與側(cè)向。它不用Von Mises來觀察應(yīng)力，一般都是觀察組合應(yīng)力的，即Beam Tool下的結(jié)果作為判斷依據(jù)。但是我們前面關(guān)于梁彎曲強度提到過，不同的材料，不同的應(yīng)力狀態(tài)，不同的軸，會有不同的變化，需要對應(yīng)著選擇性校核?？傊?，需要靈活運用。
實體單元模擬梁結(jié)構(gòu)
將建立與梁一樣的幾何，分成三段，便于加載。邊界條件采用遠程位移，釋放一樣的自由度。這里直接給出分析結(jié)果，不展示過多無關(guān)緊要的部分：
變形分布
總體變形分布與梁結(jié)構(gòu)位置一致，數(shù)值大小存在差異。觀察實體結(jié)構(gòu)云圖，發(fā)現(xiàn)其條紋存在彎曲，說明橫截面不再是平直狀態(tài)，因此對比梁結(jié)構(gòu)考慮橫截面影響的云圖，其總體變形為1.7259mm。誤差絕對值為0.0233mm，誤差百分比為1.33%，相比梁結(jié)構(gòu)。
豎直方向變形分布
上圖第一個為梁結(jié)構(gòu)豎直方向的變形，最大變形在兩端為-1.5544mm，而實體結(jié)構(gòu)最大變形也在兩端，最大變形為-1.5693mm，絕對誤差大小為0.0149，誤差百分比為0.96%，相對于梁結(jié)構(gòu)。
應(yīng)力分布
我們需要稍微理清楚一點關(guān)于兩個模型之間力的對應(yīng)，在梁結(jié)構(gòu)中，目標是純彎曲梁端，得到的彎曲應(yīng)力為彎曲拉伸或者彎曲壓縮應(yīng)力。對應(yīng)到實體模型上，我們需要關(guān)心的也是兩個支點之間的部分，所以對支點以外的模型可以隱藏起來。另外我們要獲得是這個區(qū)域?qū)嶓w模型橫截面上的拉應(yīng)力或者壓應(yīng)力，即軸向方向的正應(yīng)力。為了獲得該段實體模型很橫截面上的正應(yīng)力，我們建立一個坐標系，其坐標系Z軸與實體模型的軸向重合，因為構(gòu)造面是基于坐標系的，并且構(gòu)造面獲得是參考坐標系XY平面的結(jié)果。我們準備一系列步驟，獲得如下結(jié)果：
橫截面上正應(yīng)力分布
第一張圖為全局觀看，第二張圖為構(gòu)造面正視。實際上第二個云圖模型藍色區(qū)域下方還有灰白色區(qū)域，為了更好的聚焦構(gòu)造面，我將云圖比例進行了縮放，消除了下面的區(qū)域。
橫截面上的應(yīng)力是呈現(xiàn)線性分布的，最大拉應(yīng)力等于最大壓應(yīng)力，上正下負。完全符合我們材料力學對于橫截面上正應(yīng)力分布的描述，因為建模的時候，橫截面剛好處在坐標軸的正中心，也就是橫截面上下邊緣到中性軸距離一樣的，而我們教材告訴我們，正應(yīng)力分布與距離中性軸遠近成正比，所以上下邊緣的應(yīng)力大小一致，一個拉伸，一個壓縮。
你可能覺得看看彩色的條紋就斷定橫截面上的應(yīng)力呈現(xiàn)線性分布是胡扯，一點數(shù)據(jù)都沒，實在是難以令人信服，能這么想是很有道理的。我們獲取橫截面上的應(yīng)力分布，然后看看數(shù)值分布趨勢是否與所想一致。
我們觀察圖中的曲線即可，如果你還是覺得不太可靠，可以從表格中導出數(shù)據(jù)用Excel自己做一條關(guān)系曲線即可。其結(jié)果是一樣的，嘗試與否沒有區(qū)別。
學到這里我們基本上了解了梁結(jié)構(gòu)受到彎曲作用時基本表現(xiàn)和力學響應(yīng)的獲取，對比了實體模型。關(guān)于橫截面剪切問題之后逐漸學習，相比較而言，較復雜。本來想著對照下材料力學，這其中存在著較多問題，尚未弄清楚。尤其是采用WB以后，查找單元表格，發(fā)現(xiàn)沒有YZ平面剪切力的輸出，在WB中目前實在是找不到辦法，姑且用下XZ平面。文中還是存在著許多的疑問，可能存在錯誤。本來想著刪了，但是又擔心之后忘記，還是記錄下來，以后加強了再查漏補缺。作為回顧，也許是個不錯的選擇。
注：僅記錄學習FEM的一個過程，表達的是個人觀點與認識，歡迎一起討論學習。有疑問可以私，本號沒有留言功能，無法互動。本人小白一枚，正在努力的路上
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