圓的切線：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 .
一、圓的切線的判定及相關(guān)計算
1.如圖，以 △ABC 的邊 AB 為直徑作 ⊙O，與 BC 交于點 D，點 E 是弧 BD 的中點，
連接 AE 交 BC 于點 F，∠ACB＝2∠BAE .
求證：AC 是 ⊙O 的切線．
例題1圖
【分析】連接 AD，利用等弧所對圓周角相等及 ∠ACB＝2∠BAE 可得到 ∠BAD＝∠BCA，
再結(jié)合直徑所對圓周角為直角即可得證．
證明：如解圖，連接 AD.
例題1解圖
∵ 點 E 是弧 BD 的中點，
∴ 弧 BE ＝ 弧 DE，
∴ ∠1＝∠2 .
∵ ∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，
∴ ∠ACB＝∠BAD.
∵ AB為 ⊙O 直徑，
∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴ ∠DAC＋∠C＝90°.
∵ ∠C＝∠BAD，
∴ ∠DAC＋∠BAD＝90°.
∴ ∠BAC＝90°，即 AB⊥AC.
又 ∵ AB 是 ⊙O 的直徑，
∴ AC 是 ⊙O 的切線．
證明切線的常用方法：
1．直線與圓有交點，“ 連半徑，證垂直 ”．
(1) 圖中有 90° 角時，證垂直的方法如下：
① 利用等角代換：
通過互余的兩個角之間的等量代換得證；
② 利用平行線性質(zhì)證明垂直：
如果有與要證的切線垂直的直線，則證明半徑與這條直線平行即可；
③ 利用三角形全等或相似：
通過證明切線和其他兩邊圍成的三角形與含 90° 的三角形全等或相似得證．
(2) 圖中無 90° 角時：
利用等腰三角形的性質(zhì)，通過證明半徑為所在等腰三角形底邊的中線或角平分線，
再根據(jù) “ 三線合一 ” 的性質(zhì)得證．
2．直線與圓無交點，“ 作垂線，證相等 ”．
2.如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是 △ABC 的外接圓，點 D 在 ⊙O 上，且弧 AD＝弧 CD ,
過點 D 作 CB 的垂線，與 CB 的延長線相交于點 E，并與 AB 的延長線相交于點 F .
(1) 求證：DF 是 ⊙O 的切線；
(2) 若 ⊙O 的半徑 R＝5，AC＝8，求 DF 的長．
例題2圖
【解析】
(1) 證明：如解圖，連接 DO 并延長，與 AC 相交于點 P.
例題2解圖
∵ 弧 AD = 弧 CD，
∴ DP⊥AC.
∴ ∠DPC＝90°.
∵ DE⊥BC，
∴ ∠CED＝90°.
∵ ∠C＝90°.
∴ ∠ODF＝90°，而點 D 在 ⊙O 上，
∴ DF 是 ⊙O 的切線；
(2) 解：
例題2解圖
∵ ∠C＝90°， R＝5，
∴ AB＝2R＝10.
在 Rt△ABC 中，根據(jù)勾股定理可得，BC＝6 .
∵ ∠DPC＋∠C＝180°，
∴ PD∥CE.
∴ ∠CBA＝∠DOF.
∵ ∠C＝∠ODF，
∴ △ABC ∽ △FOD.
∴ CA / DF = BC / OD , 即 8 / DF = 6 / 5 ,
∴ DF = 20 / 3 .
類型二、切線性質(zhì)的相關(guān)證明與計算
3.如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，AC 是 ⊙O 的弦，過點 B 作 ⊙O 的切線 DE，
與 AC 的延長線交于點 D，作 AE⊥AC 交 DE 于點 E .
(1) 求證：∠BAD＝∠E；
(2) 若 ⊙O 的半徑為 5，AC＝8，求 BE 的長．
例題3圖
【解析】
(1) 證明：
∵ ⊙O 與 DE 相切于點 B，AB 為 ⊙O 的直徑，
∴ ∠ABE＝90°.
∴ ∠BAE＋∠E＝90°.
又 ∵ ∠DAE＝90°，
∴ ∠BAD＋∠BAE＝90°.
∴ ∠BAD＝∠E；
(2) 解：如解圖，連接 BC.
例題3解圖
∵ AB 為 ⊙O 的直徑，
∴ ∠ACB＝90°，
∵ AC＝8，AB＝2 × 5＝10 .
∴ 在 Rt△ACB 中，根據(jù)勾股定理可得 BC = 6 .
又 ∵ ∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，
∴ △ABC ∽ △EAB .
∴ AC / EB = BC / AB , 即 8 / EB = 6 / 10 ,
∴ BE＝40 / 3 .
4.如圖，⊙O 的半徑 OA＝6，過點 A 作 ⊙O 的切線 AP，且 AP＝8，連接 PO 并延長，
與 ⊙O交于點 B、D，過點 B 作 BC∥OA，并與 ⊙O 交于點 C，連接 AC、CD.
(1) 求證：DC∥AP；
(2) 求 AC 的長．
例題4圖
【解析】
(1) 證明：
∵ AP 是 ⊙O 的切線，
∴ ∠OAP＝90°.
∵ BD 是 ⊙O 的直徑，
∴ ∠BCD＝90°.
∵ OA∥CB，
∴ ∠AOP＝∠DBC，
∴ ∠BDC＝∠APO.
∴ DC∥AP；
(2) 解：
∵ AO∥BC，OD＝OB，
例題4解圖
∴ 如解圖，延長 AO 交 DC 于點 E，則 AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝ 1/2 CD.
在 Rt△AOP 中，根據(jù)勾股定理可得：OP＝10.
由 (1) 知，△AOP∽△CBD，
∴ BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即 12/10 = BC/6 = DC/8 ,
∴ BC = 36/5 , DC = 48/5 .
∴ OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,
在 Rt△AEC 中，根據(jù)勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .
5.如圖，AC 是 ⊙O 的直徑，AB 是 ⊙O 的一條弦，AP 是 ⊙O 的切線．
作 BM＝AB，并與 AP 交于點 M，延長 MB 交 AC 于點 E，交 ⊙O 于點 D，連接 AD.
(1) 求證：AB＝BE；
(2) 若 ⊙O 的半徑 R＝5，AB＝6，求 AD 的長．
例題5圖
【解析】
(1) 證明：
∵ AP 是 ⊙O 的切線，
∴ ∠EAM＝90°，
∴ ∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°.
又 ∵ AB＝BM，
∴ ∠MAB＝∠AMB，
∴ ∠BAE＝∠AEB，
∴ AB＝BE；
(2) 解：如解圖，連接 BC.
例題5解圖
∵ AC 是 ⊙O 的直徑，
∴ ∠ABC＝∠EAM＝90°，
在 Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根據(jù)勾股定理可得：BC = 8 .
由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，
∴ △ABC∽△EAM，
∴ ∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即 10/2 = 8/AM ,
∴ AM = 48/5 .
又 ∵ ∠D＝∠C，
∴ ∠D＝∠AMD.
∴ AD＝AM＝ 48/5 .
聯(lián)系客服
