• 密鋪

  密鋪，即平面圖形的鑲嵌，用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌。

正多邊形的密鋪

正六邊形可以密鋪，因?yàn)樗拿總€(gè)內(nèi)角都是120°，在每個(gè)拼接點(diǎn)處恰好能容納3個(gè)內(nèi)角；正五邊形不可以密鋪，因?yàn)樗拿總€(gè)內(nèi)角都是108度，而360°不是108的整數(shù)倍，在每個(gè)拼接點(diǎn)處的內(nèi)角不能保證沒(méi)空隙或重疊現(xiàn)象；除正三角形、正四邊形和正六邊形外，其它正多邊形都不可以密鋪平面。

我們都知道，鋪地時(shí)要把地面鋪滿，地磚與瓷磚之間就能留有空隙。如果用的地磚是正方形，它的每個(gè)角都是直角，那么4個(gè)正方形拼在一起，在公共頂點(diǎn)處的4個(gè)角，正好拼成一個(gè)360度的周角。六邊形的每個(gè)角都是120度， 3個(gè)正六邊形拼在一起時(shí)，在公共頂點(diǎn)上的3個(gè)角度數(shù)的和正好也是360度。除了正方形、長(zhǎng)方形以外，正三角形也能把地面密鋪。因?yàn)檎切蔚拿總€(gè)內(nèi)角都是60度，6個(gè)正三角形拼在一起時(shí)，在公共頂點(diǎn)處的6個(gè)角的度數(shù)和正好是360度。

正因?yàn)檎叫?、正六邊形拼合以后，在公共頂點(diǎn)上幾個(gè)角度數(shù)的和正好是360度，這就保證了能把地面密鋪，而且還比較美觀。

因?yàn)橹挥姓切?、正方形、正六邊形的?nèi)角的整數(shù)倍為360°，因此正多邊形中僅此三者可以密鋪。

圓形不能密鋪，但正三角形和等腰梯形、直角梯形能密鋪

可單獨(dú)密鋪的圖形

1、任意三角形、任意凸四邊形都可以密鋪。

2、正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨(dú)用于平移密鋪。

3、三對(duì)對(duì)應(yīng)邊平行的六邊形可以單獨(dú)密鋪。

4、僅發(fā)現(xiàn)十五類五邊形能密鋪。

五邊形密鋪

如圖，這是五邊形密鋪的結(jié)構(gòu)圖，近期發(fā)現(xiàn)了新的可密鋪五邊形，即第十六種可密鋪五邊形。

周期性密鋪與非周期性密鋪

周期性密鋪

我們先從三角形（非退化）說(shuō)起，
　　1.任何三角形都可以密鋪整個(gè)平面。
　　證明：我們把2個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形，然后將平行四邊形上下疊放，從而密鋪整個(gè)平面。
　　2.任何凸四邊形（包括正方形，矩形）都可以密鋪整個(gè)平面。
　　證明:
　　我們稍微思考一下，剛才三角形的方法只能推廣到平行四邊形。注意到四邊形內(nèi)角和為360，所以我們可以先把四個(gè)四邊形對(duì)應(yīng)不同的角拼在一起，使其拼滿一個(gè)360度。

　　如上圖，不同顏色的角被集中到中央，接下來(lái)就是用四邊形按照同樣的不同四角補(bǔ)成360度的方式將周圍補(bǔ)全

3.正五邊形

密鋪條證明：首先，假設(shè)能夠密鋪平面，考慮任何一個(gè)正五邊形，以下情況不會(huì)出現(xiàn)：

否則在如圖邊與頂點(diǎn)交匯處的一部分，不能放入另一個(gè)正五邊形鋪滿。

所以如果能鋪滿，應(yīng)該是邊對(duì)邊，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)，但是我們來(lái)思考一下某一個(gè)頂點(diǎn)，

？號(hào)處依假設(shè)還能放入若干個(gè)正五邊形密鋪，和2類似，應(yīng)該也是圍成360度角，但？處角度為

360-108-108=144度，鋪一個(gè)還有余，兩個(gè)就放不下，導(dǎo)出了矛盾。

4.正六邊形

證明：顯然。

5.正n邊形中，只有正三角形，正方形，正6邊形能密鋪平面，其余正n邊形不能做到。