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時間序列預(yù)測法：
時間序列，也叫時間數(shù)列、歷史復(fù)數(shù)或動態(tài)數(shù)列。它是將某種統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值，按時間先后順序排到所形成的數(shù)列。時間序列預(yù)測法就是通過編制和分析時間序列，根據(jù)時間序列所反映出來的發(fā)展過程、方向和趨勢，進(jìn)行類推或延伸，借以預(yù)測下一段時間或以后若干年內(nèi)可能達(dá)到的水平。其內(nèi)容包括：收集與整理某種社會現(xiàn)象的歷史資料；對這些資料進(jìn)行檢查鑒別，排成數(shù)列；分析時間數(shù)列，從中尋找該社會現(xiàn)象隨時間變化而變化的規(guī)律，得出一定的模式；以此模式去預(yù)測該社會現(xiàn)象將來的情況
時間序列預(yù)測法的步驟
第一步 收集歷史資料，加以整理，編成時間序列，并根據(jù)時間序列繪成統(tǒng)計(jì)圖。時間序列分析通常是把各種可能發(fā)生作用的因素進(jìn)行分類，傳統(tǒng)的分類方法是按各種因素的特點(diǎn)或影響效果分為四大類：(1)長期趨勢；(2)季節(jié)變動；(3)循環(huán)變動；(4)不規(guī)則變動。
第二步 分析時間序列。時間序列中的每一時期的數(shù)值都是由許許多多不同的因素同時發(fā)生作用后的綜合結(jié)果。
第三步 求時間序列的長期趨勢(T)季節(jié)變動(s)和不規(guī)則變動(I)的值，并選定近似的數(shù)學(xué)模式來代表它們。對于數(shù)學(xué)模式中的未知參數(shù)，使用合適的技術(shù)方法求出其值。
第四步 利用時間序列資料求出長期趨勢、季節(jié)變動和不規(guī)則變動的數(shù)學(xué)模型后，就可以利用它來預(yù)測未來的長期趨勢值T和季節(jié)變動值s，在可能的情況下預(yù)測不規(guī)則變動值I。然后用以下模式計(jì)算出未來的時間序列的預(yù)測值Y：
加法模式T+S+I=Y
乘法模式T×S×I=Y
如果不規(guī)則變動的預(yù)測值難以求得，就只求長期趨勢和季節(jié)變動的預(yù)測值，以兩者相乘之積或相加之和為時間序列的預(yù)測值。如果經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象本身沒有季節(jié)變動或不需預(yù)測分季分月的資料，則長期趨勢的預(yù)測值就是時間序列的預(yù)測值，即T=Y。但要注意這個預(yù)測值只反映現(xiàn)象未來的發(fā)展趨勢，即使很準(zhǔn)確的趨勢線在按時間順序的觀察方面所起的作用，本質(zhì)上也只是一個平均數(shù)的作用，實(shí)際值將圍繞著它上下波動。
時間序列分析基本特征
1.時間序列分析法是根據(jù)過去的變化趨勢預(yù)測未來的發(fā)展,它的前提是假定事物的過去延續(xù)到未來。時間序列分析,正是根據(jù)客觀事物發(fā)展的連續(xù)規(guī)律性,運(yùn)用過去的歷史數(shù)據(jù),通過統(tǒng)計(jì)分析,進(jìn)一步推測未來的發(fā)展趨勢。事物的過去會延續(xù)到未來這個假設(shè)前提包含兩層含義:一是不會發(fā)生突然的跳躍變化,是以相對小的步伐前進(jìn);二是過去和當(dāng)前的現(xiàn)象可能表明現(xiàn)在和將來活動的發(fā)展變化趨向。這就決定了在一般情況下,時間序列分析法對于短、近期預(yù)測比較顯著,但如延伸到更遠(yuǎn)的將來,就會出現(xiàn)很大的局限性,導(dǎo)致預(yù)測值偏離實(shí)際較大而使決策失誤。
2.時間序列數(shù)據(jù)變動存在著規(guī)律性與不規(guī)律性。時間序列中的每個觀察值大小,是影響變化的各種不同因素在同一時刻發(fā)生作用的綜合結(jié)果。從這些影響因素發(fā)生作用的大小和方向變化的時間特性來看,這些因素造成的時間序列數(shù)據(jù)的變動分為四種類型。
(1)趨勢性:某個變量隨著時間進(jìn)展或自變量變化,呈現(xiàn)一種比較緩慢而長期的持續(xù)上升、下降、停留的同性質(zhì)變動趨向,但變動幅度可能不相等。
(2)周期性:某因素由于外部影響隨著自然季節(jié)的交替出現(xiàn)高峰與低谷的規(guī)律。
(3)隨機(jī)性:個別為隨機(jī)變動,整體呈統(tǒng)計(jì)規(guī)律。
(4)綜合性:實(shí)際變化情況是幾種變動的疊加或組合。預(yù)測時設(shè)法過濾除去不規(guī)則變動,突出反映趨勢性和周期性變動。
時間序列預(yù)測法的分類
時間序列預(yù)測法可用于短期預(yù)測、中期預(yù)測和長期預(yù)測。根據(jù)分析方法的不同，又可分為：簡單序時平均數(shù)法、加權(quán)序時平均數(shù)法、簡單移動平均法、加權(quán)移動平均法、指數(shù)平滑法、趨勢預(yù)測法、季節(jié)性趨勢預(yù)測法、市場壽命周期預(yù)測法等。
簡單序時平均數(shù)法也稱算術(shù)平均法。即把若干歷史時期的統(tǒng)計(jì)數(shù)值作為觀察值，求出算術(shù)平均數(shù)作為下期預(yù)測值。這種方法基于下列假設(shè)：“過去這樣，今后也將這樣”，把近期和遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)等同化和平均化，因此只能適用于事物變化不大的趨勢預(yù)測。如果事物呈現(xiàn)某種上升或下降的趨勢，就不宜采用此法。
加權(quán)序時平均數(shù)法就是把各個時期的歷史數(shù)據(jù)按近期和遠(yuǎn)期影響程度進(jìn)行加權(quán)，求出平均值，作為下期預(yù)測值。
簡單移動平均法就是相繼移動計(jì)算若干時期的算術(shù)平均數(shù)作為下期預(yù)測值。
加權(quán)移動平均法即將簡單移動平均數(shù)進(jìn)行加權(quán)計(jì)算。在確定權(quán)數(shù)時，近期觀察值的權(quán)數(shù)應(yīng)該大些，遠(yuǎn)期觀察值的權(quán)數(shù)應(yīng)該小些。
上述幾種方法雖然簡便，能迅速求出預(yù)測值，但由于沒有考慮整個社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新動向和其他因素的影響，所以準(zhǔn)確性較差。應(yīng)根據(jù)新的情況，對預(yù)測結(jié)果作必要的修正。
指數(shù)平滑法即根據(jù)歷史資料的上期實(shí)際數(shù)和預(yù)測值，用指數(shù)加權(quán)的辦法進(jìn)行預(yù)測。此法實(shí)質(zhì)是由內(nèi)加權(quán)移動平均法演變而來的一種方法，優(yōu)點(diǎn)是只要有上期實(shí)際數(shù)和上期預(yù)測值，就可計(jì)算下期的預(yù)測值，這樣可以節(jié)省很多數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的時間，減少數(shù)據(jù)的存儲量，方法簡便。是國外廣泛使用的一種短期預(yù)測方法。
季節(jié)性趨勢預(yù)測法根據(jù)經(jīng)濟(jì)事物每年重復(fù)出現(xiàn)的周期性季節(jié)變動指數(shù)，預(yù)測其季節(jié)性變動趨勢。推算季節(jié)性指數(shù)可采用不同的方法，常用的方法有季(月)別平均法和移動平均法兩種：a．季(月)別平均法。就是把各年度的數(shù)值分季(或月)加以平均，除以各年季(或月)的總平均數(shù)，得出各季(月)指數(shù)。這種方法可以用來分析生產(chǎn)、銷售、原材料儲備、預(yù)計(jì)資金周轉(zhuǎn)需要量等方面的經(jīng)濟(jì)事物的季節(jié)性變動；b．移動平均法。即應(yīng)用移動平均數(shù)計(jì)算比例求典型季節(jié)指數(shù)。
市場壽命周期預(yù)測法就是對產(chǎn)品市場壽命周期的分析研究。例如對處于成長期的產(chǎn)品預(yù)測其銷售量，最常用的一種方法就是根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，按時間序列畫成曲線圖，再將曲線外延，即得到未來銷售發(fā)展趨勢。最簡單的外延方法是直線外延法，適用于對耐用消費(fèi)品的預(yù)測。這種方法簡單、直觀、易于掌握。
時間序列預(yù)測法案例分析
案例一:可提費(fèi)用的時間序列預(yù)測
一、可提費(fèi)用概述
可提費(fèi)用是人壽保險保費(fèi)收人中重要的組成部分，是目前國內(nèi)人壽保險公司運(yùn)營的基本保證。它的變化規(guī)律，對于保險公司的資金計(jì)劃、預(yù)算管理、以及發(fā)展規(guī)劃等行為起到至關(guān)重要的作用．因此合理、相對準(zhǔn)確地預(yù)測可提費(fèi)用對于保險公司在管理決策和發(fā)展規(guī)劃方面起到重要的作用。
可提費(fèi)用與諸多因素有關(guān)，且這些因素多屬于不確定性因素，如：市場的成長性、客戶的持續(xù)繳費(fèi)(選擇期繳方式的客戶)、季節(jié)性因素、新產(chǎn)品的開發(fā)與投放、央行的利率政策等，而且由于不同產(chǎn)品類型的收入規(guī)律和不同國家的經(jīng)濟(jì)、社會水平不同，規(guī)律也不同，又因?yàn)槿藟郾ｋU的產(chǎn)品保障類型組合非常復(fù)雜，統(tǒng)一的預(yù)測模式幾乎不可能實(shí)現(xiàn)．但研究結(jié)果表明，可提費(fèi)用的逐月累計(jì)余額構(gòu)成的時間序列是一個有規(guī)則的周期波動，具有明顯的趨勢性和季節(jié)性，月度數(shù)據(jù)周期為12，這是由中國會計(jì)財年決定的(也有一些業(yè)務(wù)收入的月發(fā)生具有明顯的季節(jié)因素)，利用季節(jié)模型還可有效刻畫年內(nèi)的波動規(guī)律。
二、時間序列預(yù)測法
1.逐步自回歸(StepAR)模型：StepAR模型是有趨勢、季節(jié)因素數(shù)據(jù)的模型類。
2.Winters Method—Additive模型：它是將時勢和乘法季節(jié)因素相結(jié)合，考慮序列中有規(guī)律節(jié)波動。
3.ARlMA模型：它是處理帶有趨勢、季節(jié)因平穩(wěn)隨機(jī)項(xiàng)數(shù)據(jù)的模型類。
4.Winters Method—Muhiplicative模型：該方法將時同趨勢和乘法季節(jié)因素相結(jié)合，考慮序列規(guī)律的季節(jié)波動。時間趨勢模型可根據(jù)該序列律的季節(jié)波動對該趨勢進(jìn)行修正。為了能捕捉到季節(jié)性，趨勢模型包含每個季節(jié)的一個季節(jié)參季節(jié)因子采用乘法季節(jié)因子。隨機(jī)時間序列
xt = (a + bt)s(t) + εt (1)
其中a和b為趨勢參數(shù)，s(t)為對應(yīng)于時刻t的這個季節(jié)選擇的季節(jié)參數(shù)，修正方程為。
bt = ω2(at ? at ? 1) + (1 ? ω2)bt ? 1 (2)
其中：xt,at,bt,分別為序列在時刻t的實(shí)測值、平滑值和平滑趨勢s{t-1}(t)選擇在季節(jié)因子被修正之前對應(yīng)于時刻t的季節(jié)因子的過去值。
在該修正系統(tǒng)中，趨勢多項(xiàng)式在當(dāng)前周期中總是被中心化，以便在t以后的時間里預(yù)報值的趨勢多項(xiàng)式的截距參數(shù)總是修正后的截距參數(shù)at。向前τ個周期的預(yù)報值是。
xt + τ = (at + btτ)st(t + τ)(3)
當(dāng)季節(jié)在數(shù)據(jù)中改變時季節(jié)參數(shù)被修正，它使用季節(jié)實(shí)測值與預(yù)報值比率的平均值。
5.GARCH(ARCH)模型
帶自相關(guān)擾動的回歸模型為。
xt = ξtβ + vt，
εt = N(0,σ2) (4)
其中：xt為因變量；ξt為回歸因子構(gòu)成的列向量；/beta為結(jié)構(gòu)參數(shù)構(gòu)成的列向量；εt為均值是0、方差是一的獨(dú)立同分布正態(tài)隨機(jī)變量。
服從GARCH過程的序列xt，對于t時刻X的條件分布記為
xt | φt ? 1?N(0,ht) (5)
其中/phi_{t-1}表示時間t-1前的所有可用信息，條件方差。
其中p≥0,q>0,
當(dāng)p=0時，GARCH(p,q)模型退化為ARCH(p)模型，ARCH參數(shù)至少要有一個不為0。
GARCH回歸模型可寫成
et? N(0,1) (7)
也可以考慮服從自回歸過程的擾動或帶有GARCH誤差的模型，即AR(n)-GARCH(p,q)。
三、預(yù)測分析與結(jié)論
在具體應(yīng)用時，可在使用模型前依據(jù)數(shù)據(jù)特征對數(shù)據(jù)進(jìn)行一些變換，如Log，Logistic，Cox—Box等變換。實(shí)際數(shù)據(jù)如表所示，數(shù)據(jù)是年內(nèi)累計(jì)的。
其數(shù)據(jù)散布圖如圖所示，其中縱軸表示“當(dāng)年可提費(fèi)用”，時間從2001-02～2003-11，共計(jì)34個月。
從圖中可以看出，該序列具有明顯的趨勢性和季節(jié)性(周期)．在具體應(yīng)用時．可在使用模型之前依據(jù)數(shù)據(jù)特征對數(shù)據(jù)進(jìn)行一些變換，如Log，Logistic，Cox-Box等變換．得到各個模型擬合的殘差平方和統(tǒng)計(jì)量、R-Square統(tǒng)計(jì)量和AIC統(tǒng)計(jì)量。如下表所示。
其中GARCH模型SAS系統(tǒng)采用極大似然方法．由于隨即誤差的方差太大，極大似然不能被執(zhí)行，GARCH模型不能被建立．綜合考慮模型{斂合的殘差平方和統(tǒng)計(jì)量、R-Square統(tǒng)計(jì)量和AIC統(tǒng)計(jì)量，可以看出在各個預(yù)報模型中穩(wěn)健的方法為Log ARIMA(1,1,0)×(O,1,O)，因此選擇Log ARIMA(1,l,0)×(O,1.o)預(yù)報模型，具體應(yīng)用過程中，在模擬ARIMA(1,1,0)×(O，l,0)模型之前對數(shù)據(jù)進(jìn)行Log變換，即yt=ln(xt)。那么總體可提費(fèi)用的數(shù)據(jù)序列{xt}t=1，2，…，N，N=34)由Log ARIMA(1,1.0)X(0.1,0)預(yù)報模型進(jìn)行預(yù)測所產(chǎn)生的參數(shù)估計(jì)如下表
從而，對數(shù)據(jù)Log變換后擬合參數(shù)的模型為
其中得到的對未來12個月的預(yù)報值段95％置信限(下表)和預(yù)報圖及95％置信限圖(下圖)，歷史數(shù)據(jù)(2001-02～2003-11)包括在用于預(yù)報圖所給范圍的圖形里，在預(yù)報周期的開始位置有一條參考線。
然后，利用得到的外推預(yù)報值{
從誤差分析看出，理論最佳模型具有次優(yōu)的實(shí)際預(yù)測誤差，而理論次優(yōu)模型具有最優(yōu)的實(shí)際預(yù)測誤差。
案例二:時間序列預(yù)測法的運(yùn)用例子
某一城市從1984年到1994年中，每年參加體育鍛煉的入口數(shù)，排列起來，共有10個數(shù)據(jù)構(gòu)成一個時間序列。我們希望用某個數(shù)學(xué)模型，根據(jù)這10個歷史數(shù)據(jù)，來預(yù)測1995年或以后若干年中每年的體育鍛煉人數(shù)是多少，以便于該城市領(lǐng)導(dǎo)人制訂一個有關(guān)體育健身的發(fā)展戰(zhàn)略或整個工作計(jì)劃。不同的時間序列有不同的特征，例如一個人在一年中每天消耗的糧食基本上是相同的，把這365個數(shù)字排列起來。發(fā)現(xiàn)它所構(gòu)成的時間序列總保持在一定水平，上下相差不太大，我們稱它是"平穩(wěn)"時間序列。它的取值和具體是哪個時期無關(guān)，只和時期的長短有關(guān)。一般來說．只有屬于平穩(wěn)過程的時間序列．才是可以被預(yù)測的。
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