【基礎(chǔ)回顧】
一、課本基礎(chǔ)提煉
1．研究直線與拋物線的位置關(guān)系,一般是聯(lián)立兩曲線方程,但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問題時(shí),要注意“設(shè)而不求”、“整體代入”、“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．
2．有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式
二、二級(jí)結(jié)論必備 過拋物線焦點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于點(diǎn)A,B,則該拋物線在點(diǎn)A,B處的兩切線的交點(diǎn)軌跡是拋物線的準(zhǔn)線. 【技能方法】 1.直線與拋物線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題 若直線過拋物線焦點(diǎn),則求直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直線不過拋物線焦點(diǎn),則求直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)|AB|,常用,對(duì)于此類問題,應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng),另外注意與面積有關(guān)的問題,常用到弦長(zhǎng)公式. 例1．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),且|MN|＝8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)直線l為拋物線C的切線,且l∥MN,P為l上一點(diǎn),求
的最小值． 【解析】 (1)由題可知F, 則該直線方程為 代入y2＝2px(p＞0),得 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則有x1＋x2＝3p. ∵|MN|＝8, ∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2, ∴拋物線的方程為y2＝4x. (2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. ∵l為拋物線C的切線,∴Δ＝0,解得b＝1. ∴l(xiāng)的方程為y＝x＋1. 設(shè)P(m,m＋1),則＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)), ∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)] ＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2. 由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1, ∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4. , ＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2 ＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14, 當(dāng)且僅當(dāng)m＝2,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)時(shí),的最小值為－14. 例２.拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,0),傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn),求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程,并求△AMN的最大面積. 【解析】由題意,可設(shè)l的方程為y=x m,－5＜m＜0. 由方程組,消去y,得x2 (2m－4)x m2=0 ,① ∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N, ∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5,0) 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1 x2=4－2m,x1·x2=m2, 點(diǎn)A到直線l的距離為 ,從而=4(1－m)(5 m)2 ,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5 m,即m=－1時(shí)取等號(hào). 故直線l的方程為y=x－1,△AMN的最大面積為 ２．拋物線的中點(diǎn)弦問題. 解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程,借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為A(x1,y1)、B(x2,y2),將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”. 例３．已知拋物線y2=4x的一條弦的斜率為3,它與直線交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______． 【解析】 設(shè)弦端點(diǎn)P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中點(diǎn)M(x0,y0),則x1 x2=2x0=1,y1 y2=2y0, 又 兩式相減得(y1 y2)(y1-y2)=4(x1-x2) 即2y0(y1-y2)=4(x1-x2), ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 3.拋物線的切線問題 由于拋物線x2=2py(p≠0),可轉(zhuǎn)化為函數(shù),因此我們可以借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義來研究拋物線的切線. 例4. 已知拋物線x2＝2y,過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于P,Q兩點(diǎn),過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________． 【解析】 由x2＝2y,得,∴y′＝x.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),∴拋物線在P,Q兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為x1,x2,∴過點(diǎn)P的拋物線的切線方程為y－y1＝x1(x－x1),又∴切線方程為,同理可得過點(diǎn)Q的切線方程為,兩切線方程聯(lián)立解得 又拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,易知直線l的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以 ４．面積問題 求三角形或四邊形的面積最值是高考中的常見問題,解決這類問題的基本方法是把面積表示為某一變量的函數(shù),再轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值,或利用基本不等式求最值. 例５．已知F為拋物線y2＝x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OA→·OB→＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( ) A．2B．3
【解析】 設(shè)直線AB的方程為x＝ny＋m(如圖), A(x1,y1),B(x2,y2), ∴x1x2＋y1y2＝2. ∴y1y2＝－2. 聯(lián)立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2, ∴m＝2,即點(diǎn)M(2,0)． 又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立． 例６．已知拋物線y2=2px(p＞0),過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,且|AB|≤2p. (1)求a的取值范圍. (2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求△NAB面積的最大值.【解析】 (1)設(shè)直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a p)x a2=0 .∴4ap 2p2≤p2,即4ap≤－p2 又∵p＞0, (2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點(diǎn) C(x,y), 由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1 x2=2a 2p, 則有 ∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a 2p,0） 點(diǎn)N到AB的距離為 從而 當(dāng)a有最大值時(shí),S有最大值為 ５.對(duì)稱問題 根據(jù)圓錐曲線上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱求參數(shù)范圍，是一類典型問題，解決此類對(duì)稱問題,要抓住三點(diǎn)： (1)中點(diǎn)在對(duì)稱軸上； (2)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直； (3)兩點(diǎn)連線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),故Δ＞0.一般通過“設(shè)而不求”、“點(diǎn)差法”得到對(duì)稱點(diǎn)連線的方程,再與曲線方程聯(lián)立,由判別式不等式求出參數(shù)范圍. 例7.已知拋物線y＝ax2－1(a≠0)上總有關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的相異兩點(diǎn),求a的取值范圍. 解： 設(shè)A(x1,y1)和B(x2,y2)為拋物線y＝ax2－1上的關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的兩相異點(diǎn),則 兩式相減,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2). 再由x1≠x2,得 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則 由M點(diǎn)在直線x＋y＝0上,得 ∴直線AB的方程為 聯(lián)立直線AB與拋物線的方程并消去y,得 依題意,上面的方程有兩個(gè)相異實(shí)根, ∴a的取值范圍是 【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】 1.(2014·濰坊模擬)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)且斜率為的直線l與拋物線y2＝4x交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的值為( ) 【答案】A 【解析】 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),則直線l的方程為,代入拋物線方程得3x2－10x＋3＝0. 根據(jù)拋物線的定義,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝ ２．已知直線y=k(x 2)(k＞0)與拋物線C:y2=8x相交A、B兩點(diǎn),F為C的焦點(diǎn).若|FA|=2|FB|,則k=( ) 【答案】Ｄ 【解析】 由直線方程知直線過定點(diǎn)即拋物線焦點(diǎn)（2,0）,由|FA|=2|FB|知xA 2=2(xB 2) 聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求 ３．拋物線y=ax2與直線y=kx b(k≠0)交于A、B兩點(diǎn),且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( ) A.x3=x1 x2 B.x1x2=x1x3 x2x3 C.x1 x2 x3=0 D.x1x2 x2x3 x3x1=0 【答案】B 【解析】 解方程組,得ax2－kx－b=0,可知,代入驗(yàn)證即可. ４已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若P(2,2)為AB的中點(diǎn),則拋物線C的方程為_______． 【答案】 y2=4x 【解析】 設(shè)拋物線為y2＝kx,與y＝x聯(lián)立方程組,消去y, 得：x2－kx＝0, x1 x2＝k＝2×2,故y2=4x. 【能力提升】 1.設(shè)拋物線x2＝12y的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn),則|AF|＋|BF|＝( ) A.12 B.10
C.6
D.8
【答案】D
【解析】
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故選D.
2.已知雙曲線
(a＞0,b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為3,則p＝( ) A.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】
由雙曲線的離心率
.∴雙曲線的漸近線方程為.由題意可設(shè)得p＝2或－2(舍去).故選C. 3.直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為P,Q,則梯形APQB的面積為( ) A．48 B．56
C．64
D．72
【答案】A
【解析】
由題不妨設(shè)A在第一象限,聯(lián)立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而準(zhǔn)線方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,
故S梯形APQB＝
(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48. 4.過點(diǎn)(2,4)作直線與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則這樣的直線有條_______． 【答案】 2【解析】 注意到點(diǎn)(2,4)是拋物線上的點(diǎn),用數(shù)形結(jié)合知滿足題意的直線有兩條,其一是過該點(diǎn)的切線；其二是過該點(diǎn)且與對(duì)稱軸平行的直線.故填2.5.設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)P(－1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn).若FQ＝2,則直線l的斜率等于_______． 【答案】±1 【解析】 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y＝k(x＋1),聯(lián)立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,設(shè)Q(x0,y0),則,又F(1,0),,解得k＝±1 【終極突破】 1.（2015福建文19）已知點(diǎn)F為拋物線E：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3． （1）求拋物線E的方程； （2）已知點(diǎn)G(-1,0) ,延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B, 求證：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直GB相切． 【答案】 （1）y2=4x； （2）見解析 【解析】 （1）由拋物線的定義得．因?yàn)閨AF|=3,即,解得p=2, 所以拋物線E的方程為y2=4x． （2）解法一：因?yàn)辄c(diǎn)A(2,m),在拋物線E：y2=4x上, 所以,由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè) 由,F(1,0)可得直線AF的方程為 ,得2x2-5x 2=0. 解得x=2或,從而 又G(-1,0),所以 所以kGA KGB=0,從而∠AGF=∠BGF,這表明點(diǎn)F到直線GA,GB的距離相等, 故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切． 解法二：設(shè)以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r． 因?yàn)辄c(diǎn)A(2,m)在拋物線E：y2=4x上, 所以,由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè) 由,F(1,0)可得直線AF的方程為 ,得2x2-5x 2=0. 解得x=2或,從而 又G(-1,0),故直線GA的方程為 從而 又直線GB的方程為 所以點(diǎn)F到直線GB的距離 這表明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切． 2.設(shè)不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y＝2x2上,l是AB的垂直平分線. (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2取何值時(shí),直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論； (2)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí),求l在y軸上的截距的取值范圍. 【答案】 (1) x1＋x2＝0 ； (2) 【解析】 (1)F∈l?|FA|＝|FB|?A,B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等,∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線,y1≥0,y2≥0,依題意y1,y2不同時(shí)為0,∴上述條件等價(jià)于 ∵x1≠x2,∴上述條件等價(jià)于x1＋x2＝0,即當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2＝0時(shí),l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F. (2)設(shè)l在y軸上的截距為b,依題意得l的方程為 由y＝2x2,得 過A,B的直線方程為∵直線AB與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn),∴聯(lián)立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直線l在y軸上截距的取值范圍是 3.如圖,已知直線l與拋物線x2＝4y相切于點(diǎn)P(2,1),且與x軸交于點(diǎn)A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)． (1)若動(dòng)點(diǎn)M滿足,求點(diǎn)M的軌跡C； (2)若過點(diǎn)B的直線l′(斜率不等于零)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E,F(E在B,F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍． 【答案】 (1) 以原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,短軸長(zhǎng)為2的橢圓； (2) 【解析】 (1)由x2＝4y,得 ∴直線l的斜率為y′|x＝2＝1, 故直線l的方程為y＝x－1, ∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0)． 設(shè)M(x,y),則 由得整理得 ∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,短軸長(zhǎng)為2的橢圓． (2)由題意知直線l′的斜率存在且不為零, 設(shè)l′的方程為y＝k(x－2)(k≠0),① 將①代入 整理,得(2k2＋1)x2－8k2·x＋(8k2－2)＝0, 由Δ＞0得 設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2), 由此可得,且0＜λ＜1. 由②知 (x1－2)·(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4 又∵0＜λ＜1, ∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是
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