復(fù)利:神奇的數(shù)字魔法
話說在古印度,有一位叫西薩的宰相發(fā)明了國際象棋,當(dāng)時的國王甚為喜歡,于是龍顏大悅之下就要好好地賞賜一番,就問西薩有什么要求。西薩就說了:“陛下,臣別無所求,只想請您在這張棋盤的第1個小格里放1粒麥子,在第2個小格里放2粒,第3個小格里放4粒,以此類推,以后每一小格放置的小麥數(shù)量都是前一小格小麥數(shù)量的2倍。然后請您把這樣擺滿棋盤上的所有64格的麥粒都賞給您的仆人吧。”
國王在不察之下,認(rèn)為這個要求真是一點也不過分,很痛快地就答應(yīng)了他的要求。但是當(dāng)屬下搬來一袋袋的小麥開始計數(shù)后,國王才郁悶地發(fā)現(xiàn):自己被這個宰相給“算計”了一把,因為就算把全印度甚至全世界的麥粒拿來,也滿足不了宰相的要求,自己雖然貴為國王,富甲天下,同樣是無可奈何。
那么,我們的問題是:這個宰相要求的麥粒的數(shù)額究竟有多大,竟至于全世界的麥粒也滿足不了他的要求?究竟是什么力量那么神奇,竟使麥粒的數(shù)量如此巨大呢?
復(fù)利是相對于單利來說的,單利的特點是對已過計息日而不提取的利息不計利息;復(fù)利是將上期利息并入本金一并計算利息的一種方法,俗稱“息上加息”,是利息的利息。復(fù)利,其實古已有之,高利貸者就是運用復(fù)利進(jìn)行壓榨盤剝,因而以復(fù)利為本質(zhì)的高利貸則被人們形象地稱為“利滾利”、“驢打滾”。
那么,銀行為什么愿意用復(fù)利來給存款計算利息呢?如果用單利不是對其更有利嗎?這看似很有道理,其實不然。銀行固然很精明,但消費者也不傻,如果銀行使用單利來計息,那么在知道按照復(fù)利計息能獲得更多利息的情況下,聰明的消費者肯定不會存多年期的定期存款,每次只會存不超過一年的定期存款,在每年結(jié)息后將獲得的本金和利息再次存入銀行以獲取更多的利息,這實際上與復(fù)利是等效的。所以,銀行并沒有省錢,反而可能因為消費者將存款轉(zhuǎn)存到其他銀行而使得存款來源多變又不穩(wěn)定,影響其長期貸款的發(fā)放。實際上,既然本金可以獲取利息,那么同樣作為貨幣的利息也應(yīng)當(dāng)可以獲取利息,所以復(fù)利較之于單利,是更合理的計息方式。
下面介紹幾個簡單的復(fù)利計算公式,可以很方便地進(jìn)行復(fù)利的計算。
復(fù)利的計算公式可以表示為:
S=P·(1+r)n
C=S-P=P·[(1+r)n-1]
式中,C為利息額;P為本金; r為利息率;n為借貸期限;S為本金與利息之和,簡稱本利和。
為了便于比較,同時列出單利的計算公式:
C=P·r·n
S=P(1+r·n)
對于單利和復(fù)利的差別,上面銀行存款的例子可能還不太形象,朋友們可能還沒有體會到復(fù)利的巨大威力,那么我們再舉一個例子以加深大家的理解。假設(shè)在紀(jì)元元年元月元日貸出1元錢,按年率3%計算,在經(jīng)過2 010年后值多少錢呢?
如果按單利計算,本利和為:1×(1+3%×2 010)=613(元),也就是說經(jīng)過2 000多年,本息和也不過才增長約60倍而已。
如果按復(fù)利計算,本利和為:1×(1+3%)2 010=6350 7×1025(元),這是個概念,是多少個億呀!把現(xiàn)在全球的財富加起來都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,這就是復(fù)利的威力。
簡而言之,在確定的借貸期內(nèi),按復(fù)利計息的次數(shù)越多,投資人的利息收入就越高。當(dāng)然,籌資人的利息成本也就越大。在極端情況下,如果在每一秒、每一毫秒、每一微秒都可以用復(fù)利計息,連你睡覺的時間都不放過,此時的復(fù)利又稱為連續(xù)復(fù)利,其殺傷力就更大了,其計算公式也很簡單:
A=A0ert
其中,A0為本金,r為利率,t為時間,A為本息和,在此我們不再展開了。
現(xiàn)在知道棋手的要求是多么過分了吧
在學(xué)習(xí)了復(fù)利的有關(guān)知識后,我們可以解決本章開始提出的問題了。國王究竟需要多少麥粒才能滿足棋手的要求呢?有了復(fù)利的概念和公式后,我們就可以解決這個問題了。棋盤第一個空格里的第一粒麥子相當(dāng)于本金P;通過故事可以知道,以后每一小格都比前一小格加1倍,即相當(dāng)于利息率為100%;棋盤空格一共有64格,第一格為本金(本金P=1),可知借貸期限n為63期。則可得本利和為:
S=P·(1+r)n=1×(1+100%)63=9223 4×1018(粒)
有人計算過,按照這種方式填滿整個棋盤大約需要820億噸大麥,按照現(xiàn)在全球大麥產(chǎn)量來看,大概550年才能滿足那個聰明的國際象棋發(fā)明家。這是一個何等巨大的數(shù)字啊,大到令人瞠目結(jié)舌!現(xiàn)在知道棋手的要求是多么過分了吧!
這其實是一個按照100%復(fù)利遞增的故事,數(shù)據(jù)可能不是很準(zhǔn)確,但它形象地說明了復(fù)利的神奇,偉大的科學(xué)家愛因斯坦也曾經(jīng)贊嘆過:“復(fù)利,堪稱是世界第八大奇跡,其威力甚至超過原子彈?!?/p>
收益的資本化:簡單資產(chǎn)評估的萬能公式
其實利率有一個簡單但非常重要的應(yīng)用:收益的資本化。
在開始之前,先考朋友們一個簡單的問題。
假定有一筆貸款1年的利息收益是100萬元,且該筆貸款的利率為10%時,那么你知道這筆貸款的本金是多少嗎?朋友們肯定會對這個問題嗤之以鼻:“這么簡單的問題還來問我,不就等于1 000萬元嘛?!贝鸢敢驳拇_如此。
現(xiàn)在我們將這個問題稍微變一變,假定你有一個商業(yè)上的朋友來跟你說,希望你能給他1 200萬元以幫助他擴(kuò)大經(jīng)營。而作為回報,他將會在今后的每一年中都支付你100萬元,并且我們假定這位朋友一直不死,你也能夠永生,銀行的年利率為10%?,F(xiàn)在的問題是:你能答應(yīng)這個要求嗎?
很多朋友就心想了:借1 200萬元給他,他以后每年還我100萬元,只要12年我就能把本錢撈回來了。而現(xiàn)在又說了,我們可以永生,那么我不是以后每年都可以收他100萬元嘛,想想看啊,那是多少個100萬元,那可是穩(wěn)賺不賠的超級大買賣,這老兄莫非腦子進(jìn)水了竟然主動跟我做這個賠錢的大買賣?真是個大傻帽,簡直無可救藥。不過既然如此,這送上門來的好生意自然不能放過了,答應(yīng)他了……
事實真的如此嗎?這商人真的是傻帽嗎?天下有這樣的免費午餐嗎?
答案當(dāng)然是否定的,那么,為什么呢?
這其實就是所謂的收益資本化,它是指任何有收益的事物,即使它并不是一筆貸放出去的貨幣,甚至也不是真正有一筆實實在在的資本存在,都可以通過收益與利率的對比而倒過來算出它相當(dāng)于多大的資本金額。
假定任一事物每年能夠帶來的平均收益設(shè)為C,年利率設(shè)為r,則該事物的價格可以表示為:
P=Cr
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