滲透數(shù)學(xué)建模思想
[摘要]
[關(guān)鍵詞]
國家教育部制定的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，明確提出了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)，即：通過義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能；初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識；近幾年的初中學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題明顯加強(qiáng)了對密切聯(lián)系生產(chǎn)和生活實(shí)際的應(yīng)用性問題的考查力度，例如，2002至2008年的臺州初中學(xué)業(yè)考試的應(yīng)用性問題都需用數(shù)學(xué)建模思想解決：2002年的沙塵暴問題，2003年的繳煤氣費(fèi)問題和聯(lián)通與電信的選擇問題，2004年的節(jié)約用水問題，2005年的用三角函數(shù)解決燈柱鋼纜問題，2006年的出租車油費(fèi)問題，2007年的學(xué)習(xí)收益量問題，2008年的樓梯問題，然而，從歷年所反饋的數(shù)據(jù)看，應(yīng)用性問題的得分率還較低，這說明目前初中教學(xué)存在著以練習(xí)促理解，以技能訓(xùn)練代替思維訓(xùn)練的現(xiàn)象仍然存在，這種“掐頭去尾燒中段”的做法，對學(xué)生真正理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識極為不利，而數(shù)學(xué)建模恰是解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)思想，在現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材的各種版本中，對應(yīng)用性問題的解決已初步滲透數(shù)學(xué)建模思想。筆者認(rèn)為建模思想的滲透不僅可以使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)并非只是一門抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的妙處，進(jìn)而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣，這不僅為學(xué)生進(jìn)入高一級學(xué)校開展數(shù)學(xué)建?；顒拥於ɑA(chǔ)，同時(shí)對于提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題的能力大有裨益，更是順應(yīng)了當(dāng)前素質(zhì)教育和教學(xué)改革的需要．
一、創(chuàng)設(shè)情景教學(xué) 體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模
臺州地處東南沿海，境內(nèi)多丘陵，勤勞聰明的臺州人民為解決雨季洪澇災(zāi)害和旱季生產(chǎn)生活用水問題，在境內(nèi)建立了許多的水庫．地處黃巖西部的長潭水庫是市區(qū)人民的大水缸，在一次雨季水庫的水位在5小時(shí)內(nèi)持續(xù)上漲，下表記錄了這5小時(shí)的水位高度，
| t∕時(shí) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y∕米 | 30 | 30．5 | 31 | 31．5 | 32 | 32．5 |
據(jù)天氣預(yù)報(bào)當(dāng)?shù)剡€會持續(xù)降雨5小時(shí)，雨量基本不變，而水庫的警戒水位是 34米，問在這次降雨過程中若水庫不瀉洪有沒有危險(xiǎn)？
這是一個(gè)典型的利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的例子，首先，建立數(shù)學(xué)模型，要根據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描出散點(diǎn)圖，再根據(jù)所得的散點(diǎn)圖的形狀判斷兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，再選擇相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式------一次函數(shù)；其次，解模，求出所選函數(shù)關(guān)系式的待定系數(shù)，確定具體的函數(shù)解析式，即y=0.5x+30,
所謂數(shù)學(xué)建模的確切含義尚無定論，但專家們比較趨于一致的看法就是將實(shí)際問題中事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化抽象成數(shù)學(xué)語言，構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系(如公式、函數(shù)、方程或圖形)，使原來的問題情境轉(zhuǎn)化為易于解決的數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想．用于解決實(shí)際問題時(shí)要注意兩個(gè)步驟：一是建模（建立數(shù)學(xué)模型），二是解模（運(yùn)用有關(guān)知識求解數(shù)學(xué)模型）．而初中學(xué)生由于掌握的數(shù)學(xué)知識非常有限，所能學(xué)到的數(shù)學(xué)模型也不多，但數(shù)學(xué)建模作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，初中學(xué)生是非常有必要去了解它重要性，知道它的作用，逐步形成數(shù)學(xué)建模意識，并能養(yǎng)成用數(shù)學(xué)建模去解決一些實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．當(dāng)然，一個(gè)人意識的形成不是一朝一夕的，需要經(jīng)過長時(shí)間的培養(yǎng)和強(qiáng)化，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識也一樣，需要教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中不斷地向?qū)W生滲透，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)膹?qiáng)化訓(xùn)練，在教學(xué)中，教師可利用現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，有針對性地研究在各個(gè)教學(xué)章節(jié)中可引入哪些數(shù)學(xué)基本模型，且創(chuàng)設(shè)與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)識發(fā)展水平相適應(yīng)的問題情境,讓學(xué)生體驗(yàn)如何應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法來解決實(shí)際問題 ．
二、注意掌握策略 把握數(shù)學(xué)建模
解決應(yīng)用性實(shí)際問題的步驟是：審題，尋找內(nèi)在數(shù)學(xué)關(guān)系，準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型．其中關(guān)鍵是建模，而建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是審題，所以，首先要教學(xué)生掌握審題策略：
(1) 細(xì)讀重點(diǎn)字、詞、句、式 通過閱讀材料，觀察圖表，找出題設(shè)中的關(guān)鍵性字、詞、句、式，如不到、超過，增加到、增加了，變化、不變，至多、至少，大于、小于等，結(jié)合實(shí)際意義，深入挖掘題中隱藏著的數(shù)量關(guān)系與數(shù)學(xué)意義，捕捉題中的數(shù)學(xué)模型．
(2) 借助表格或畫圖 在某些應(yīng)用題中，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，審題時(shí)難以把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系清晰化，怎么辦？可以根據(jù)事物類別、時(shí)間先后、問題的項(xiàng)目等列出表格或畫出圖形，如：例2. 某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件．已知：生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9kg、乙種原料3kg，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需用甲種原料4kg、乙種原料10kg，可獲利潤1200．
（1）若安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，共有哪幾種方案？請你設(shè)計(jì)出來．
（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤是y元，其中一種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)是x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中的哪種生產(chǎn)方案可以獲得最大總利潤．最大的總利潤是多少？
分析：本題中共出現(xiàn)了9個(gè)數(shù)據(jù)，其中涉及甲、乙兩種原料的質(zhì)量，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總件數(shù)及兩種產(chǎn)品所獲得的利潤等．為了清楚地整理題目所涉及的各種信息，我們可采用列表法．
再結(jié)合題意很容易得到數(shù)學(xué)模型：
通過將較復(fù)雜的數(shù)量對號入座地填入表格，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系清晰化，使分散于文字中的數(shù)學(xué)信息呈現(xiàn)在圖表中，讓人感覺一目了然．
(3) 關(guān)注問題的實(shí)際背景 從現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中提煉出的應(yīng)用題，一般都有較濃厚的生活氣息，且題設(shè)多以文字?jǐn)⑹龅姆绞浇o出，顯得比較抽象，理解難度較大，若我們能多聯(lián)想問題的原始背景，往往可幫助理解題意，有時(shí)會有豁然開朗的感覺．
三、通過實(shí)際應(yīng)用 體會數(shù)學(xué)建模
在學(xué)習(xí)了一個(gè)知識點(diǎn)后指導(dǎo)學(xué)生用以建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，通過解決實(shí)際問題使學(xué)生掌握相關(guān)類型的建模方法，為他們今后能主動用數(shù)學(xué)的意識、方法、手段處理問題提供知識儲備，增加數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)使學(xué)生產(chǎn)生明顯的意識和情感．中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)建模類型大致有以下幾種：
1、方程或不等式
在實(shí)際生活和生產(chǎn)中常出現(xiàn)有關(guān)行程、路程、工程、統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化問題等方面的應(yīng)用題可建立方程或不等式模型求解．如：
例3、中國聯(lián)通130網(wǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：月租費(fèi)30元,每月來電顯示費(fèi)6元,本地電話費(fèi)每分鐘0.4元。中國移動的“神州行” 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：本地電話費(fèi)每分鐘0.6元, 月租費(fèi)和來電顯示費(fèi)全免．最近,小周買了手機(jī)要入本地網(wǎng),請問為了省錢他該選擇中國聯(lián)通還是中國電信?
方程和不等式是初中數(shù)學(xué)兩個(gè)最基礎(chǔ)的知識點(diǎn)，也是兩個(gè)很重要的數(shù)學(xué)模型，很多的實(shí)際問題都可以用這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型來解決．本例就是通過對使用中國聯(lián)通和中國電信的費(fèi)用的比較建立方程和不等式模型，從而解決實(shí)際問題．
2、函數(shù)模型
在生產(chǎn)生活中普遍存在成本最低、利潤最高、產(chǎn)出最大、效益最好、用料最省等應(yīng)用問題，可以歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，常常建立函數(shù)模型來求解．
例4、自建函數(shù)模型解決實(shí)際問題：如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設(shè)花圃的寬AB為x m，面積為S m2．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果要圍成面積為45 m2的花圃，AB的長是多少米？
（3）能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由．
函數(shù)作為研究現(xiàn)實(shí)世界中變量之間關(guān)系的的模型，對于初中學(xué)生來說是比較抽象和難懂的，但是在解決實(shí)際問題時(shí)很有用，所以，教師在教學(xué)中一定要注重函數(shù)基礎(chǔ)知識的落實(shí)，注重函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的結(jié)合．使學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識用以建模來解決實(shí)際問題．
3、幾何模型
| _ |
| E |
| _ |
| D |
| _ |
| C |
| _ |
| B |
| _ |
| A |
| _ |
| F |
例5、如圖所示,要測量河兩岸相對的兩點(diǎn)A、B的距離,可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D,使CD=BC再定出BF的垂線DE,使A、C、E在同一條直線上,這時(shí)測得的DE 的長就是AB的長,寫出已知和求證,并且進(jìn)行證明.
幾何是研究圖形為主的學(xué)科，在測量等方面有無可替代的作用．本例是在學(xué)了全等三角形的知識后，通過利用全等三角形的知識解決比較熟悉的生活例子來滲透數(shù)學(xué)建模意識，增強(qiáng)應(yīng)用意識，進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用能力．
4、三角模型
用三角函數(shù)的知識能確定安全范圍內(nèi)所滿足的條件，如：河寬、山高、建筑物的高度測量等，特別是在以方位為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系時(shí)的有關(guān)計(jì)算問題的解決中，非常有用．
例6、如圖,A市氣象站測得臺風(fēng)中心在市正東方向320千米處,正以每小時(shí)25千米的速度向西北的OP方向移動已知臺風(fēng)中心240千米處的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域,問A市是否受到這次臺風(fēng)的影響?如受影響,那么遭受臺風(fēng)影響的時(shí)間有多長?如不受影響,說明理由.
三角函數(shù)主要是對直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行研究，在涉及到三角形的邊角關(guān)系的實(shí)際測量問題時(shí)，建立三角模型，利用邊角轉(zhuǎn)換進(jìn)行計(jì)算得到所需的數(shù)據(jù)，在解決實(shí)際問題時(shí)往往有特別好的效果．
5、統(tǒng)計(jì)概率模型
統(tǒng)計(jì)、概率與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系，模型很多，學(xué)生可以通過實(shí)踐活動來學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)處理的方法，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行推斷和預(yù)測，為相關(guān)決策提供依據(jù)和參考．
例7、某校要從小王和小李兩名同學(xué)中挑選一人參加全國數(shù)學(xué)競賽，在最近的五次選拔測試中，他倆的成績分別如下表：
根據(jù)上表解答問題：歷屆比賽表明，成績達(dá)到80分以上（含80分）就很可能獲獎，成績達(dá)到90分以上（含90分）就很可能獲得一等獎，那么你認(rèn)為應(yīng)選誰參加比賽比較合適？說明你的理由（2分）
本例通過建立統(tǒng)計(jì)和概率模型，計(jì)算小王和小李的平均分與方差可知兩人水平相當(dāng)?shù)±畋容^穩(wěn)定，結(jié)合歷屆獲獎情況發(fā)現(xiàn)小李獲獎的概率較高，可確定派小李參加，統(tǒng)計(jì)和概率模型可從看似雜亂的數(shù)據(jù)整理出所需要的信息，并解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的威力，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性．
以實(shí)際問題的解決作為載體，并結(jié)合初中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型，通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)到解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題并不是無章可循.可以經(jīng)過對實(shí)際問題的進(jìn)行分析——將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化——建立數(shù)學(xué)模型——經(jīng)數(shù)學(xué)方法求解——回歸到實(shí)際問題——求出實(shí)際問題的解等幾個(gè)步驟來解決.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中知道數(shù)學(xué)模型的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想.教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)注意：由于數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生大膽想象和猜想，應(yīng)用已有數(shù)學(xué)知識，嘗試構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生產(chǎn)生活中的數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)問題并非只在數(shù)學(xué)課中存在，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)特別注意學(xué)科間的融合，這不但可以提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量，還可以提升相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)質(zhì)量，乃至于對學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí)都會產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響；作為數(shù)學(xué)教師要更新教學(xué)理念，提高自身的數(shù)學(xué)建模水平，才能更好的引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模樹立解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的信心，提高解決實(shí)際問題的能力.
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