【王小龍的回答(64票)】:
謝邀?；卮饍蓚€(gè)問(wèn)題：
1. 什么是散度？
2. 散度在圖像處理中有何應(yīng)用
1. 什么是散度
1.1 散度的定義
散度是作用在向量場(chǎng)上的一個(gè)算子。
用三維空間來(lái)舉例，向量場(chǎng)就是在空間每一點(diǎn)處都對(duì)應(yīng)一個(gè)特殊的三維向量的向量函數(shù)：
。比如海洋里，各點(diǎn)在單位時(shí)間單位體積中水的流量就是一個(gè)三維場(chǎng)，這個(gè)場(chǎng)也稱為通量。
散度算子定義為：
。
它是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(場(chǎng))，也就是說(shuō)，在定義空間中每一點(diǎn)的散度是一個(gè)值。
1.2 散度的物理意義
用水流來(lái)解釋，散度的物理意義可以敘述為：
1.3 數(shù)學(xué)推導(dǎo)
咱們來(lái)看看在一點(diǎn)
的附近到底發(fā)生了什么。以這一點(diǎn)為中心，用一個(gè)邊長(zhǎng)分別為
的平行于坐標(biāo)軸的長(zhǎng)方體盒子包圍它，來(lái)詳細(xì)分析長(zhǎng)方體各表面水向外跑了多少。先看盒子在
方向上的兩個(gè)面：
第一個(gè)面是一個(gè)面積為
的長(zhǎng)方形，它的中心坐標(biāo)是
，這一點(diǎn)的通量是
，用Taylor展開(kāi)式可以近似為：
，又因?yàn)檫@一長(zhǎng)方形的外法線方向是
，因此這一面在單位時(shí)間向外的流量就是二者相乘再乘以面積，由于法線的特殊形式，y、z分量自動(dòng)消失了：
同理，在x負(fù)半軸上的那個(gè)面單位時(shí)間向外的流量是：
因此單位時(shí)間在x方向上的總的向外的流量是：
把三個(gè)坐標(biāo)軸向外的流量加在一起，我們就得到了圍繞點(diǎn)
，體積為
的長(zhǎng)方體單位時(shí)間向外的流量是
。
從上面的推導(dǎo)立即可以得出結(jié)論：
中，單位時(shí)間向外的總流量就是把每一個(gè)小區(qū)域向外的流量加起來(lái)(內(nèi)部相互抵消，最終只有區(qū)域邊界上的值得以展現(xiàn))：
1.4 散度與擴(kuò)散
假設(shè)在空間中有一個(gè)濃度場(chǎng)
，則在每一點(diǎn)都有一個(gè)濃度上升最快的方向，我們稱其為梯度
，它是一個(gè)向量場(chǎng)。濃度差帶來(lái)的后果就是空間物質(zhì)會(huì)發(fā)生運(yùn)動(dòng)，從高濃度向低濃度運(yùn)動(dòng)，其結(jié)果就是濃度中和,趨向平衡。這種運(yùn)動(dòng)可以用一個(gè)偏微分方程描述：
這個(gè)方程被形象地稱為擴(kuò)散方程。散度算子內(nèi)部的量
可以是標(biāo)量，也可以是矩陣，用于調(diào)節(jié)濃度差與擴(kuò)散方向之間的關(guān)系。
為了更加直觀地理解，咱先略去多余因子，這樣方程就變成了：
等式右邊被稱為L(zhǎng)aplace算子，一般用一個(gè)正三角來(lái)簡(jiǎn)寫(xiě)，你可以用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)理解它。在一小段時(shí)間間隔上，這個(gè)方程又可以離散化為：
直接含義就是：在每個(gè)小時(shí)間段內(nèi)，如果一個(gè)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)大于0，則把它的濃度增加一些，如果一個(gè)點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)小于0，則把它的濃度降低一些。因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)大于0的點(diǎn)往往是下凹的點(diǎn)，是局部極小值，因此增加它可以讓局部濃度變平滑;類似地，二階導(dǎo)數(shù)小于0的點(diǎn)往往是上凸點(diǎn)，是局部極大值，要減少它才能更平滑。
當(dāng)時(shí)間趨向于無(wú)窮大時(shí)，方程達(dá)到穩(wěn)定，左端為0，那么我們就得到穩(wěn)定值滿足的條件：整個(gè)區(qū)域上散度為0。也可以理解為最終消滅了所有的源點(diǎn)和匯點(diǎn)，場(chǎng)變得光滑了。
2. 散度在圖像去噪中的應(yīng)用
在圖像領(lǐng)域散度算子主要用在去噪中。假設(shè)一幅圖像為
，它的梯度算子
是一個(gè)二維場(chǎng)，那么我們立即可以用散度算子構(gòu)造一個(gè)擴(kuò)散方程：
把這個(gè)擴(kuò)散方程作用于圖像就可以去噪了，上面已經(jīng)解釋了它的作用過(guò)程是比較圖像上的每個(gè)點(diǎn)，如果一個(gè)點(diǎn)值比周?chē)c(diǎn)低，就增加它，如果比周?chē)c(diǎn)高，就減少它，實(shí)質(zhì)就是平滑圖像。但是由于它是各向同性的均勻擴(kuò)散方程，導(dǎo)致圖像上所有細(xì)節(jié)均勻模糊，去噪效果很糟糕。
Perona和Malik在90年代初發(fā)現(xiàn)，由于圖像噪聲點(diǎn)往往處在梯度值較大的點(diǎn)處，如果擴(kuò)散方程在梯度值較大的區(qū)域加速擴(kuò)散，在梯度值較小的區(qū)域減緩擴(kuò)散，則可以在著重去噪的同時(shí)保護(hù)圖像有用細(xì)節(jié)。他們修改后的擴(kuò)散方程就是有名的P-M方程：
其中函數(shù)g是一個(gè)遞減函數(shù)，保證隨圖像梯度模值增大函數(shù)值遞減，起到只在圖像噪聲點(diǎn)（大梯度點(diǎn)）猛烈擴(kuò)散的作用。同時(shí)，這個(gè)方程還可以變形為在圖像局部沿邊緣方向
和跨邊緣方向
上的兩個(gè)一維擴(kuò)散之和，保證在沿著邊緣方向擴(kuò)散地多，跨邊緣擴(kuò)散地少，也就是保證
，起到在去噪的同時(shí)保護(hù)邊緣的作用。
散度形式和方向?qū)?shù)形式的擴(kuò)散方程是隨后P-M方程改進(jìn)的兩個(gè)主要方向。
最后請(qǐng)欣賞梵高的名畫(huà)星空：
各向同性擴(kuò)散方程對(duì)其進(jìn)行均勻平滑的結(jié)果（啥都看不清了）：
如果第一幅圖是初始濃度，這一幅圖就是一段時(shí)間后的中和了的濃度。最終，圖像成為一張純色畫(huà)布，恰好是原始圖像的均值。這一過(guò)程在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格等價(jià)于對(duì)圖像做方差不斷增大的高斯卷積。如果第一幅圖是初始濃度，這一幅圖就是一段時(shí)間后的中和了的濃度。最終，圖像成為一張純色畫(huà)布，恰好是原始圖像的均值。這一過(guò)程在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格等價(jià)于對(duì)圖像做方差不斷增大的高斯卷積。
修改擴(kuò)散系數(shù)后方向可控平滑的結(jié)果（只沿著邊緣擴(kuò)散，保護(hù)邊緣）：
明顯可以看出，在平滑噪聲（細(xì)小顏色雜質(zhì)）的同時(shí)，大邊緣得到了很地保留。明顯可以看出，在平滑噪聲（細(xì)小顏色雜質(zhì)）的同時(shí)，大邊緣得到了很地保留。
參考文獻(xiàn)
1. R.P.Feynman et al. 費(fèi)恩曼物理學(xué)講義（第二卷）.上海科學(xué)技術(shù)出版社, 2005.
2. 王大凱, 侯榆青,彭進(jìn)業(yè). 圖像處理的偏微分方程方法. 科學(xué)出版社, 2008.
3. 王小龍,彭國(guó)華. 彩色圖像的方向擴(kuò)散去噪模型研究[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2013, 49(22): 208-211.
【陳奇的回答(0票)】:
作為一個(gè)前端，看到div還以為是<div>標(biāo)簽.......
好吧，把這樓折了吧......
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