說起狹義相對論，感興趣的人不少。但對狹義相對論中的一些問題，即使是學(xué)過狹義相對論的人，可能也不一定正確理解，更不要說那些只是讀過一點關(guān)于相對論科普文章的人。
這些問題中，有些的確本身比較燒腦。例如車庫佯謬、鐘慢效應(yīng)和孿生子效應(yīng)等。但實際上，只要厘清狹義相對論的基本思想，尤其是抓住它的兩條基本假設(shè)和作為相對論核心的洛侖茲變換，理解這些問題并非難事。
雖然大多數(shù)人自身的理解力和學(xué)習(xí)能力原本足以弄懂上述這些問題，但可能是不夠自信、缺乏耐心或時間，以至沒有靜下來思考，所以也就沒有機會理解和欣賞到這個偉大的理論背后的奧妙之處。當(dāng)然，他們對此是心知肚明的，也就不會大談特談，不懂裝懂，只好暗暗計劃將來再去徹底弄懂這些問題。
但除此之外，還有一些問題，它們只是表面看起來比較簡單，真相并非一目了然，因而被很多人錯誤的理解。且更重要的是，大多數(shù)人對此卻渾然不覺，還以為自己早已爛熟于胸，并饒有興趣的向別人講解自己的心得體會。
這類問題中，最突出的代表就是質(zhì)能方程
是的，就是它！凡是上過中學(xué)的，誰敢說自己不懂這個等式嗎？的確有點不好意思這么說，畢竟它是大多數(shù)人對相對論僅存的一點知識。
的確，它看起來實在是太簡單了！愛因斯坦將它表述得過于直白，數(shù)學(xué)上的門檻幾乎是零。一百多年過去了，在街頭巷尾，茶余飯后，它已成為一個老少皆宜的老話題。
我說二狗啊，你知道嗎？能量與質(zhì)量能相互轉(zhuǎn)化，因為能量與質(zhì)量等價！一點點質(zhì)量能變成巨大的能量，而核裂變和熱核聚變中，正是它導(dǎo)致大量的質(zhì)量變成能量。像我手里這個小疙瘩，假設(shè)它的質(zhì)量慢慢虧損掉，你的100世孫都有用不完的能源了......
大多數(shù)人在談?wù)撡|(zhì)能關(guān)系的時候，幾乎沒有意識到自己正在談?wù)摢M義相對論。因為看起來，這個式子似乎不需要任何相對論時空觀作為基礎(chǔ)。甚至完全可以認(rèn)為，它就是某個橫空出世的新理論！與什么相對論唯一的關(guān)系是：它碰巧也是愛因斯坦提出的罷了。
同時，在大多數(shù)人的心目中，質(zhì)能方程只有在原子彈、氫彈的爆炸以及原子核衰變這類現(xiàn)象中才會起作用，與我們的日常生活毫無關(guān)系。
然而，實際上，它是狹義相對論的必然結(jié)果。確切的說，它是狹義相對論的時空觀自動導(dǎo)致的！并且，這個方程正時刻統(tǒng)治著我們生活中的一切現(xiàn)象！
要理解這背后的真相，首先要了解它的由來。
本文先簡單的介紹一下狹義相對論的基本思想，然后給出一個推理的基本思路，據(jù)此逐步推理，在得出質(zhì)能方程后，再來探討其中的奧秘。
需要指出的是，本文不是純科普文章，完全讀懂需要一定的微積分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)，但總體來講，講解比較簡單清晰，無需另外進行數(shù)學(xué)演算。
另外，凡是涉及比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算的內(nèi)容，都有提示可選擇跳過。本文中淺色字體顯示的部分一般都包含比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，可按自身情況選讀。
特別的，對于那些不太關(guān)心質(zhì)能方程由來的讀者，或者直接嫌本文過長的人，建議可從第11節(jié)開始讀，這樣你就逃過了大部分復(fù)雜的數(shù)學(xué)過程。
1
01
狹義相對論的基本假設(shè)
相對論是一種區(qū)別于牛頓力學(xué)所基于的絕對時空觀的新理論。絕對時空觀認(rèn)為，雖然空間位置具有相對性，但空間距離和時間具有絕對性。
伽利略通過觀察勻速行駛的船上的各種現(xiàn)象后發(fā)現(xiàn)，船上的所有現(xiàn)象及背后的規(guī)律與地面上沒有差別。換句話說，你不可能通過任何實驗來測定你所在的慣性系的運動速度。
據(jù)此，伽利略提出了相對性原理：力學(xué)規(guī)律在任意慣性系都是平權(quán)的。根據(jù)這個原理，當(dāng)你從一個慣性系轉(zhuǎn)換到另一個慣性系中時，所有的物理規(guī)律的數(shù)學(xué)形式將保持不變。
按照相對性原理的要求，伽利略提出了一種不同慣性系間的轉(zhuǎn)換策略，它就是伽利略變換。
它是相對性原理的數(shù)學(xué)實現(xiàn)：保證任何一個物理規(guī)律在所有慣性系中都是平權(quán)的。也就是說，通過這個變換，任何力學(xué)規(guī)律在不同的慣性系中保持形式不變。
這種形式不變的特點經(jīng)常被稱作物理規(guī)律的協(xié)變性。這個詞語的意思是，當(dāng)從一個慣性系變換到另一個慣性系時，雖然物理規(guī)律中的物理量的值發(fā)生了改變，但這種改變是全體物理量一起協(xié)同進行的。所導(dǎo)致的結(jié)果是，它們所滿足的物理規(guī)律的數(shù)學(xué)形式保持不變。
然而，在遇到麥克斯韋的電磁場理論時，絕對時空觀出了問題！簡單的說就是，在伽利略變換下，麥克斯韋方程組沒有協(xié)變性。
相對論時空觀是指基于兩條基本假設(shè)建立起來的，區(qū)別于牛頓絕對時空觀的新理論。這兩條基本假設(shè)分別是相對性原理和光速不變原理。
第一條基本假設(shè)指出：任何物理規(guī)律在所有慣性系中具有相同的數(shù)學(xué)形式。而第二條假設(shè)認(rèn)為：在真空中，光在任何慣性系中，沿任何方向的的速度都相同。
在牛頓力學(xué)中，伽利略變換保證力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性，這是力學(xué)的相對性原理的要求。而在相對論中，洛倫茲變換保證所有的物理規(guī)律具有協(xié)變性，這是更廣泛的相對性原理的要求，不再局限于力學(xué)范圍。
根據(jù)相對性原理，任何物理規(guī)律必須滿足洛侖茲協(xié)變性。否則就不可能成為相對論框架下的物理規(guī)律。
你可能對上面這段話有點不太明白：滿不滿足洛倫茲協(xié)變性成為判斷一個命題是否是物理規(guī)律的必要條件？
萬有引力定律就是一個典型的例子，它不滿足洛倫茲協(xié)變性，所以它不是狹義相對論框架下的物理規(guī)律。
1
02
從動能定理入手
質(zhì)能關(guān)系中含有能量 ，若要了解相對論中的能量到底長啥樣，一個最直接的入口是：探討能量的變化規(guī)律。
實際上，在物理學(xué)中，我們經(jīng)常從研究某個量的變化量所服從的規(guī)律入手，來獲得這個物理量本身的定義或者表達形式。典型的例子，如熱力學(xué)熵，勢能，動能等等。 按照牛頓力學(xué)，合外力做功導(dǎo)致質(zhì)點動能增加。換句話說，質(zhì)點動能就是通過合外力做功來獲得的。那么，通過計算合外力做功，就可獲得動能的增量所滿足的規(guī)律，進而獲得相對論動能的表達式。
講到這里，有人可能會說，動能就是 啊！直接根據(jù)這個不就得到了嗎？為什么還要去計算合外力做功呢？
這里要鄭重提醒一下，既然現(xiàn)在所講的是相對論，牛頓力學(xué)中那些物理量的形式不再適用了！
因為，按照狹義相對論的相對性原理，任何物理量所滿足的物理規(guī)律在所有慣性參考系中是一樣的，都必須滿足洛侖茲協(xié)變性。顯然， 既然牛頓力學(xué)中的動能的表達式滿足伽利略協(xié)變性，那么它不可能同時滿足洛侖茲協(xié)變性。
那么，怎樣定義動能才能符合相對論的要求呢？
前面已經(jīng)提到了：動能的增量等于合外力做功！實際上，這句話不單單是動能定理的表述，它還同時給出了動能增量的準(zhǔn)確的定義。
在牛頓力學(xué)中，我們正是在計算合外力做功的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)并得到 形式的動能的，請看：
正是因為發(fā)現(xiàn)合外力做功可剛好表示為具有 形式的東東前后的增量，人們才將其定義為質(zhì)點動能的表達式嘛！
類似的，剛體的轉(zhuǎn)動動能之所以具有 的形式，不也是基于“合外力矩做功等于轉(zhuǎn)動動能的增量”這一共識，才被發(fā)現(xiàn)并定義的嗎？
那么，在相對論的框架下，我們是否也可以通過計算合外力做功來獲得動能的表達式？事實表明，這樣做是完全正確的！
然而，相對論里面，合外力又是啥呢？
力在空間和時間上的積累，分別對應(yīng)功和沖量，前者導(dǎo)致動能改變，后者對應(yīng)動量改變。剛剛上面就用了功的這個規(guī)律——動能定理，那么后者所滿足的規(guī)律——動量定理，是否在相對論的框架下依然有效呢？
答案是：有效！
根據(jù)如下關(guān)系 左邊表明力是動量的導(dǎo)數(shù)，如果認(rèn)為質(zhì)量守恒，則寫出來就是 這就是牛頓第二定律。而右邊就是動量定理的微分形式。因此，動量定理實際上是牛頓第二定律。牛頓第二定律作為與麥克斯韋方程組具有同等地位的物理學(xué)的基本規(guī)律，不可能被相對論排除在外，因此動能定律也必然是有效的。
據(jù)此，可以根據(jù)動量 的導(dǎo)數(shù)來定義力 。一旦得到了力，就可以通過計算做功來獲得動能的表達式，進而找到質(zhì)能方程。
然而，問題又來了，在相對論下，動量 又該如何定義呢？
1
03
動量還是mv嗎？
有人會說：簡單啊，動量描述質(zhì)點運動的量，是質(zhì)量乘以速度，即
對嗎？不對！因為你會發(fā)現(xiàn)，在相對論中，如果按照這種動量的定義，動量守恒定律在不同的參考系中不一致。換句話說，在一個參考系里守恒，但在另一個參考系里卻不守恒。
舉個例子，如下圖，在光滑地面上，有兩個小球，質(zhì)量都為m，以等大反向的速度 完成完全非彈性碰撞后合在一起成為一個整體。
顯然，按照牛頓力學(xué)，藍色球和紅色球受到的彈力可以表示為 根據(jù)牛頓第三定律，作用力等于反作用力，故 上式說明，總動量不隨時間變化，故動量守恒。 無論在什么慣性參考系中，既然牛頓第三定律都成立，則碰撞前后動量不變。也就是說，牛頓力學(xué)中，動量守恒定律對任意慣性系都成立。
當(dāng)然，如果你不放心，你完全可以采用伽利略變換來驗證一下。
例如，在地面參考系K中，碰撞前藍色球和紅色球的動量分別為 和 ，總動量為0。碰撞后，系統(tǒng)的速度為0，動量仍為0，動量是守恒的。
綜上，牛頓力學(xué)中，動量的定義式 是沒有問題的，它使不受外力的系統(tǒng)在碰撞過程前后的動量在任何慣性系中都具有 形式的關(guān)系。這意味著動量守恒具有伽利略協(xié)變性，它成為一條物理規(guī)律。
那么，在相對論中，若還按 定義動量，會導(dǎo)致什么情況呢？
先來看地面參考系K中的情況。碰撞前，二者動量等大反向，總動量為0；碰撞后，速度為0，總動量也為0，動量守恒。
不過，由于本文不打算細推洛倫茲變換，所以也就不講這個速度變換的來歷了，這里直接給出沿參考系相對運動方向的速度變換
這說明，在不同的參考系中，碰撞前后總動量的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式具有不同的形式，故動量守恒定律不滿足洛侖茲協(xié)變性。換句話說，動量守恒不是一個物理規(guī)律。而導(dǎo)致這個問題的罪魁禍?zhǔn)资莿恿康亩x式 。
由于動量守恒定律是如此的重要，必須想辦法來重新定義動量，使動量守恒定律符合洛侖茲協(xié)變性。
要重新定義動量，那得先來看一下力學(xué)中動量到底是什么，它是如何被定義的？這大概要從一個重要的物理學(xué)原理講起。
1
04
最小作用量原理
本文從一開始，就反復(fù)提到相對性原理，它是物理學(xué)中的一條級別很高的基本原理。梁燦彬教授稱之為“管定律的定律”。它的主要工作是判決一個物理定律是否合格。打個比方，如果將物理學(xué)看成一家企業(yè)，那么相對性原理就是質(zhì)檢部。
其實，還有一條原理，它是負責(zé)導(dǎo)出所有這些物理定律——至少力學(xué)中是這樣的。
就目前所知道的，它就像物理學(xué)企業(yè)中的發(fā)展戰(zhàn)略部，給出最高指導(dǎo)思想。企業(yè)的各種規(guī)則和制度都源于這一機構(gòu)。它本著一種開源節(jié)流，以最佳自然配置的策略，不斷優(yōu)化和提升企業(yè)的生產(chǎn)力和銷售路徑，以最小的成本換取最大的利潤。
它就是最小作用量原理！
確切的說，它的名稱應(yīng)該是駐值作用量(stationary action)原理。根據(jù)此原理，自然界中的任何一個實際發(fā)生的物理過程所對應(yīng)的作用量總是取極值，可能最大，也可能最小，還可能取一個恒定值。但大多數(shù)情況下取極小值，因此得名最小(least)作用量原理。
這里面的作用量可以視為某種代價。但這個代價到底是什么，對不同的物理領(lǐng)域要分別研究。
例如在光學(xué)中，這個原理就是費馬原理。作用量就是總光程，即每段路的長度 乘以折射率 ，然后累加起來。對連續(xù)變化的介質(zhì)，這個求和就是積分，即
真實的光線的路徑總是使總光程 取極值。
而對力學(xué)系統(tǒng)來說，最小作用量原理也稱哈密頓原理。它指出：每個力學(xué)系統(tǒng)都可以用一個確定的函數(shù) 來描述，它就是拉格朗日量，簡稱拉氏量。這里面的 代表一種變量，叫廣義坐標(biāo)， 表示它的一階導(dǎo)數(shù)。如果 是坐標(biāo)，那么 就是速度。坐標(biāo)變量的個數(shù) 是描述系統(tǒng)所需的獨立變量的個數(shù)，即自由度。
作用量是拉格朗日量的時間積分，即
根據(jù)此原理的要求，對真實的力學(xué)過程，作用量 取極值。
據(jù)此極值條件，我們可以得到拉氏量所滿足的一個方程，即拉格朗日方程。
1
05
拉格朗日方程
本節(jié)涉及到一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)，學(xué)過微積分的同學(xué)可以看懂。如果對微積分不熟悉或?qū)@部分不感興趣，可以直接跳到下一節(jié)，不影響對本文整體內(nèi)容的理解。
上面提到的作用量 不是一個函數(shù)，相反它是一個數(shù)。它的值取決于拉氏量的函數(shù)形式。換句話說，它是一種以函數(shù)形式作為自變量的東東，我們稱之為泛函。
如上圖，我們要計算a點到b點之間的曲線的長度 ，可供選擇曲線有很多條，每條曲線對應(yīng)一個函數(shù) ，以它們?yōu)樽兞?，從a到b的之間的曲線的長度 就是一個泛函，表示為 。
學(xué)過函數(shù)的都知道，函數(shù)可以相互嵌套，形成復(fù)合函數(shù)，例如 。 這看起來似乎有點像泛函，但實際上是不同的。泛函中，變化的是函數(shù)的運算法則，而復(fù)合函數(shù)變化的是最內(nèi)層的那個自變量 。
正如函數(shù)的自變量的變化導(dǎo)致函數(shù)值變化，可以定義微分。類似的，泛函里面的函數(shù)的運算法則發(fā)生變化，也引起泛函取值變化，可以定義所謂變分，表達式如下 例如，上圖中藍色曲線與相鄰的綠色和紫色曲線之間的差別就是函數(shù) 的形式變化累積造成的，如果這種差別無限小，那么它就是變分。
學(xué)過熱學(xué)的人都知道，功和熱由于不是狀態(tài)量，它們的變化與具體的過程有關(guān)，而過程可以看作函數(shù)，那么功和熱都可以看作是過程的泛函。因此功和熱的無限小的變化實際上是變分，用區(qū)別于d的符號?表示。
還記得全微分嗎？一個二元函數(shù) 的全微分如下
變分也有類似的規(guī)律。例如，只有一個自由度的體系的拉氏量，由于 實際上可看作時間 的函數(shù) ，不同的函數(shù)形式對應(yīng)不同的運動情況，這會導(dǎo)致拉氏量產(chǎn)生變分——注意這是函數(shù)的變分。而這里面的 本身也是變分，因為它是 的函數(shù)形式變化所導(dǎo)致的。所以，復(fù)合函數(shù)不光有微分，當(dāng)它的內(nèi)層函數(shù)發(fā)生改變時，也會產(chǎn)生變分。
因此得 的表達式為 由于 是任意的，故上式只能在被積函數(shù)為零時才成立，即 這就是單自由度體系的拉格朗日方程。若有 個自由度，則每個 都對應(yīng)一個拉格朗日方程，即 如果你已經(jīng)知道一個物理體系的拉氏量，那么根據(jù)拉格朗日方程，你就會得到體系的運動方程。
Joseph-Louis Lagrange
你可能會馬上會問：那么，滿足拉格朗日方程的拉格朗日量決定了體系的力學(xué)規(guī)律？
沒錯！所以，如何找到這個量是一個核心問題。但要獲得正確描述物理體系的拉氏量，可不是一件容易事。通常，人們在物理實驗的基礎(chǔ)上，借助一些物理原理或規(guī)則，拼湊出一個合適的拉氏量。
例如，通過分析 得，一個自由粒子的拉氏量為
其中 是速度，而 被定義為質(zhì)量。 如果有多個相互獨立的粒子，那么總的拉氏量就是每個粒子的拉氏量之和，即 如果粒子之間有相互作用，需引入一個粒子的位置函數(shù) 附在上式后面才得到拉氏量 再例如，描述強力、弱力及電磁力這三種基本力及組成所有物質(zhì)的基本粒子的理論，即所謂標(biāo)準(zhǔn)模型，其拉氏量極其復(fù)雜 ，一頁都寫不下。
現(xiàn)在，我們離定義動量非常近了。不過在真正定義動量之前，讓我們再介紹物理學(xué)中的另一條基本原理。
1
06
對稱性與守恒律
說起對稱性，很容易想到日常生活中的那些結(jié)構(gòu)對稱的物體。例如下面這些圖案都具有一定的對稱性。
然而物理中的對稱性是很深刻的。
德國數(shù)學(xué)家外爾給出的對稱性的定義為：如果一個系統(tǒng)在經(jīng)歷某個作后，保持不變，或變?yōu)橐粋€等價的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)對該操作具有對稱性。
按這個意思，對稱意味著不可分辨，也就是等價。
從這個定義來看，對稱性不局限于空間，還可以包括時間，甚至體系的其他的性質(zhì)，例如電荷等。同時，它也不局限于物體的結(jié)構(gòu)，還包括物理現(xiàn)象，甚至物理規(guī)律。
例如，轉(zhuǎn)動白色的乒乓球，看上去沒有任何變化，這就是旋轉(zhuǎn)對稱性；交換分子結(jié)構(gòu)中的某些特定位置的原子，分子結(jié)構(gòu)完全一致，這就是置換對稱性；今天做的理實驗，與昨天做的結(jié)果都一樣，這就是物理現(xiàn)象的時間平移對稱性；牛頓第二定律中的時間如果反號，保持不變，這說明牛頓第二定律具有時間反演對稱性；而經(jīng)過伽利略變換，牛頓力學(xué)的形式保持不變，說明力學(xué)規(guī)律對伽利略變換具有對稱性——稱之為協(xié)變。
講到這里，有必要串一下另一個話題。
從事科學(xué)研究人都相信，只要條件相同，別人能做成的實驗，我也可以做成。換句話說，科學(xué)實驗必然是可重復(fù)的。實驗無法重復(fù)，你的論文即使發(fā)表了，也只能撤稿。
如果用稍微帶點哲學(xué)的風(fēng)格來說，就是：相同的原因?qū)е孪嗤慕Y(jié)果。這就是所謂的因果律。
但這種表述過于理想化，因為完全相同是不可能實現(xiàn)的！就拿做實驗來說吧，你能和其他人同時同地做實驗嗎？顯然不行。
而根據(jù)對稱性可知，等價的東西，我們看不出差別。所以，因果律有一個比較寬松的版本：等價的原因必然導(dǎo)致等價的結(jié)果。
如果改用對稱的語言來說就是：對稱的原因必然導(dǎo)致對稱的結(jié)果。舉個例子，均勻帶電球體形成的電場必然是球?qū)ΨQ的。
當(dāng)然，不對稱的原因也可能導(dǎo)致對稱的結(jié)果。這很容易理解，例如，小明和小紅考試都考了100分。
但是，原因中的對稱性必然體現(xiàn)在結(jié)果中，也就是說，結(jié)果中的對稱性一定不會少于原因中的對稱性。皮埃爾·居里(Pierre Curie)在此基礎(chǔ)上提出了更完整的表述，稱之為對稱性原理，這里就不再贅述了。
那么問題就來了，對稱的原因?qū)е聦ΨQ的結(jié)果，這個結(jié)果是是什么？例如我們相信，無限大平面上的物理問題具有平移不變性，這會導(dǎo)致什么呢？
你會說，這會導(dǎo)致我在撒哈拉沙漠中原地不動的等死，因為無論我走多少，反正結(jié)局一樣。
但顯然，這不是一個物理問題，而是一個涉及心理學(xué)和動物野外生存學(xué)的問題。
物理問題需要抽象出高度統(tǒng)一的共性，換句話說，我們要將這種關(guān)系形式化的用數(shù)學(xué)表示出來！
1918年，德國的傳奇數(shù)學(xué)家艾米·諾特(Emmy Noether)完成了這一史詩級的任務(wù)。她借助變分法形式化的得到一個數(shù)學(xué)上高度形式化的結(jié)論：每種連續(xù)操作下的對稱性，都對應(yīng)一個守恒律。這就是著名的諾特定理，理論物理學(xué)中最偉大的定理之一。
根據(jù)這個定理，每發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的一個對稱性，意味著系統(tǒng)中存在一個不變的物理量。諾特發(fā)現(xiàn)，動量，能量，角動量這些看起來似乎是人為定義的東西，原來都是時空的某些對稱性所導(dǎo)致的，因此，我們能對這些物理量給出高度抽象和普適的形式化定義。
1
07
動量與能量的定義
先來看動量。
根據(jù)對稱性的規(guī)律，如果物理系統(tǒng)的空間是均勻的，也就是說空間具有平移不變性，那么這種對稱性必然體現(xiàn)在描述物理系統(tǒng)的規(guī)律中。因而描述這個體系的拉氏量應(yīng)該具有空間平移不變性。
考慮三維空間的單個粒子，自由度是3。用坐標(biāo) 作為廣義坐標(biāo) ，拉氏量不隨坐標(biāo)移動而變化，即 因為 是任意的，故 代入拉格朗日方程中得
可見，若定義 則它正是由空間均勻性所導(dǎo)致的一個守恒量。它就是動量。
你覺得不像動量？將前面提到的自由粒子的拉氏量代入得這下看清了吧！寫成矢量式為 如果有多個粒子，那么系統(tǒng)總動量為 再來看能量。
考慮多個粒子的系統(tǒng)。如果物理體系不隨時間變化，也就是滿足時間平移不變性，那么類似上面，有 故拉氏量的時間導(dǎo)數(shù)為 聯(lián)合根據(jù)拉格朗日方程得 可見，若定義 則它正是由時間的均勻性所導(dǎo)致的一個守恒量。它就是能量。
如果將前面提到的相互作用多粒子的拉氏量代入，得 看清楚了，它就是粒子的動能加上相互作用的勢能，即總能。
從上述過程的看到，空間和時間的平移對稱性分別導(dǎo)致動量和能量守恒，動量和能量據(jù)此被定義。
這種定義是基于最小作用量原理和對稱性與守恒律得到的，而這些規(guī)律是物理學(xué)中普遍成立的基本規(guī)律，因此這種定義也是普適的。
如此看來，只要找到狹義相對論下的拉氏量，我們就可以得到動量和能量了！至于動能，還是按照原計劃進行，即通過做功的計算來發(fā)現(xiàn)。
然而，如何構(gòu)造出滿足相對論要求的拉氏量呢？
我們從作用量入手吧，因為它是拉氏量的時間積分。
1
08
尋找不變量：事件間隔
根據(jù)最小作用量原理，真實的力學(xué)過程必然導(dǎo)致最小作用量，這個結(jié)果應(yīng)該與參考系無關(guān)。那么，很自然想到，如果作用量不隨坐標(biāo)系變化，是一個不變量，那么就能一直滿足最小作用量原理的要求。
想想吧，狹義相對論中，令你最刻骨銘心的永恒不變的那個東東是什么？
廢話，當(dāng)然是光速啊！
這樣一來，尋找這個不變的作用量，應(yīng)該離不開光速不變這件事了！
既然如此，有必要將光速不變原理用數(shù)學(xué)公式呈現(xiàn)出來。俗話的好：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則民科”，數(shù)學(xué)方法才是物理人最根本的武器，否則一切都是紙上談兵！
那么，該如何構(gòu)造一個數(shù)學(xué)式子表示出光速不變原理呢？你別告訴我是 ，這與你說”光速不變“這句話沒有區(qū)別。
對了！洛倫茲變換！它是對相對論基本假設(shè)的完美的數(shù)學(xué)翻譯，自然就包含了光速不變原理了！
是的，洛倫茲變換當(dāng)然體現(xiàn)了光速不變。但它是怎么來的？它離光速不變那個出發(fā)點走得太遠了點，思想跳躍太多，包含了其他的功能，比如坐標(biāo)變換。
本文不打算講洛侖茲變換的由來，初步計劃在別的文章中再講。而本人的一個嗜好是：如果沒有講清楚某個東東的來龍去脈，一般不直接用它。本文只是在第3節(jié)處驗證牛頓力學(xué)中的動量定義不符合洛倫茲協(xié)變性時用到了洛倫茲變換的推論——洛倫茲速度變換。在本文后續(xù)內(nèi)容中，也不會涉及洛倫茲變換。
現(xiàn)在先來找一個更單純的體現(xiàn)光速不變的數(shù)學(xué)關(guān)系式吧。
考察一束光從A點發(fā)出和到達B點這兩件事。我們在兩個慣性系中來看看這兩件事。
這里用了時空點這個說法，它代表空間和時間一起構(gòu)成的四維時空中的一點。如果說的更具體一點，應(yīng)該是閔可夫斯基四維時空點，也叫世界點。粒子在一段歷史過程中的全部世界點連成的一條線，叫世界線。上述積分就是沿著一條世界線進行的。
關(guān)于閔氏空間和相關(guān)的幾何問題，本文暫不涉及，后面將有專門文章介紹。這里我們只要知道，作用量就是間隔 的積分乘以一個系數(shù)。
那么，為什么積分前面要一個負號呢？
因為這個積分值本身只有最大值沒有最小值，而最小作用量原理要求作用量必須具有最小值，所以只有通過加一個負號，才能將積分的的最大值變成最小值。
那么，為什么間隔 的積分值只有最大值呢？
根據(jù)間隔的定義，間隔的積分為 由于 ，故 據(jù)此說明上述積分的確有最大值，并且可以看到，此時這個最大值是在當(dāng)粒子保持靜止時取得的，這說明靜止的粒子的世界線是最長的。
好了，現(xiàn)在得到作用量的表達式為 根據(jù)前面所講，力學(xué)的作用量與拉氏量的關(guān)系為 對比以上兩式，拉氏量為 現(xiàn)在就剩下系數(shù) 還未知，有什么辦法確定下來呢？
正如上節(jié)末提到，現(xiàn)在所考慮的是一個以速度 運動的，質(zhì)量為 的粒子。而前面第5節(jié)提到，一個服從牛頓力學(xué)規(guī)律的自由粒子的拉氏量為 而牛頓力學(xué)是相對論在速度遠遠小于光速時的近似，換句話說，當(dāng) 時， 應(yīng)該過渡到 。
數(shù)學(xué)上，一個可被重復(fù)求導(dǎo)的函數(shù)，可被表示為指數(shù)從零開始的整數(shù)次冪的函數(shù)的線性組合。當(dāng)它自變量取值為小于1的數(shù)時，高次冪越來越小，這樣就可以按需要的精度選取一定數(shù)量的低次冪項作為近似。這就是用泰勒級數(shù)求近似值的原理。
現(xiàn)在把 看作是小量，將 展開為泰勒級數(shù)，
保留前兩項，得到的近似拉氏量，比牛頓力學(xué)下的拉氏量多了一個常數(shù)項，這怎么辦？
實際上，拉氏量即使加上一個坐標(biāo)和時間的函數(shù)對時間的全微分，力學(xué)規(guī)律都是一樣的，更不要說加上一個常數(shù)項。這一點可以從上述拉格朗日方程推導(dǎo)的過程中看出來：既然方程由作用量的變分等于零來決定，即只要滿足 ，代表一樣的力學(xué)規(guī)律。
下面是證明過程，不感興趣的可以略過。
假設(shè)已經(jīng)得出某體系的拉氏量為 ，現(xiàn)在給它加上一個如上述的函數(shù)，即 代入作用量的變分中，得 ，力學(xué)規(guī)律相同。
因此，上述低速運動的近似拉氏量等價為 將其與牛頓力學(xué)拉氏量 對比可知 故最終得到拉氏量為 千呼萬喚始出來，拉氏量得到了，后面的問題就好說了。
1
10
動量與能量
根據(jù)對稱性與守恒律，動量與能量分別源于空間和時間的平移不變性，這個規(guī)律是物理學(xué)中非?；镜脑?。連愛因斯坦本人都對諾特的發(fā)現(xiàn)贊不絕口 ，因此，不要說我趨炎附勢，見風(fēng)使舵，根據(jù)它定義動量和能量是最佳選擇，沒有之一。
先看動量。
按照第7節(jié)所講，求拉氏量對速度的導(dǎo)數(shù)，即
阿彌陀佛！千辛萬苦，終于得到了你預(yù)期的動量表達式吧！
再來看能量。
同樣按照第7節(jié)所講，能量的定義為 代入動量和拉氏量的表達式得 這就是質(zhì)量為 粒子在速度為 時的總能量。
很顯然，當(dāng) 時，粒子靜止，此時它具有的能量為 這就是靜能，此式即所謂的質(zhì)能方程。
那么總能與靜能的差，自然就是因為運動而具有的動能了，即 到此，我們已經(jīng)得到了動能，靜能和總能量的表達式。
回顧上述整個過程，大概可以表示為如下路徑(訂：小→最小；領(lǐng)→量)： 但這似乎與本文最初計劃路線稍有不同。
哦，想起來了，在本文第2節(jié)，原計劃沿著動量 力 做功的路徑尋找動能的增量，進而找到動能的表達式。既然現(xiàn)在動能已經(jīng)得到了，那就用這個方法來驗證一下。
這個過程涉及較為復(fù)雜的積分運算，不感興趣可跳過。
由動量的導(dǎo)數(shù)得到力，計算力做功，即 注意，這里 ，而 。故 設(shè) ，則上式為 根據(jù)動能定理，這個做功值應(yīng)該是靜止粒子在獲得速度 后動能的增量，原來動能為零，那么此式就是動能的表達式，即 然而，如何接著從這里面發(fā)現(xiàn)靜能和總能的表達式呢？一個理所當(dāng)然的想法是：動能表達式的第一項與速度有關(guān)，因此應(yīng)該是獲得速度以后的總能； 第二項與速度無關(guān)，是靜止時已有的能量，即靜能。
好了，按照原計劃，我們也得到了質(zhì)能方程，路徑是與前面通過作拉氏量直接得到的結(jié)果完全相同。顯然，通過拉氏量得到的方式更具說服力。
1
11
得到的結(jié)果
到此為止，本文的第一部分講完了，再集中亮一下我們的偉大成果：
根據(jù)最小作用量原理，結(jié)合對稱性與守恒律，通過拉氏量得到了相對論動量、能量、靜能和動能的表達式，分別為
我們看到，這四個表達式總共只涉及三個量，光速 ，質(zhì)量 和速度 。前面兩個量都是不變量，而速度 是相對的。
下面進入文章的第二部分，解釋相對論與牛頓力學(xué)的關(guān)系，澄清一些常見的誤解，并重點揭示質(zhì)能方程的真正內(nèi)涵。
1
12
過渡到牛頓力學(xué)
狹義相對論是普適的理論，牛頓力學(xué)只是它在低速運動下的近似。因此上述公式中的動量和動能公式在當(dāng)速度遠小于光速時，必然爽滑過渡到我們熟悉的牛頓力學(xué)中的形式。
下面的驗證過程涉及泰勒級數(shù)，不感興趣的可以跳過。
對于動量，很容易驗證。
當(dāng) 時， ，得牛頓力學(xué)中的動量 。
而對動能，稍微復(fù)雜一點。
當(dāng) 時，若直接忽略 ，則 便從式中消失，動能為零，顯然不合理。于是將 當(dāng)作小量展開泰勒級數(shù)。在上面求拉氏量時也做過泰勒展開，這里方法類似，即 我們看到，當(dāng)保留第一項時，正好就是牛頓力學(xué)中的動能表達式。其實嚴(yán)格來說，動量也應(yīng)該按級數(shù)展開來驗證，如果那樣做，也會發(fā)現(xiàn)，第一項正好就是 。
從以上過程可見，僅從動量和動能這兩個例子，相對論是更精確的理論，而牛頓力學(xué)只是一種近似的理論，相對論向下兼容牛頓力學(xué)。
1
13
動質(zhì)量，雞肋也！
根據(jù)上面的推導(dǎo)，動量的定義式不再是牛頓力學(xué)中的形式。
各位可自行驗證，按照這樣定義的動量，前面第3節(jié)中的兩球碰撞中的動量守恒定律必定滿足洛侖茲協(xié)變性。
不過，絕大多數(shù)書上，習(xí)慣將動量的表達式寫成 的形式，其中 也就是說，可以認(rèn)為動量的定義式并沒有變，變的是質(zhì)量。一個靜止時質(zhì)量為 的質(zhì)點，以速度 運動后，質(zhì)量變成了 ，它被稱作動質(zhì)量。
有了這樣一個概念，上面的4個公式可以改寫為 頓時感覺一下子清爽了多了！
然而，除了這一點好處之外，這個概念沒有其他什么用處。相反，有了它，很多人錯誤的將上面的總能量的表達式看作質(zhì)能方程，進而認(rèn)為質(zhì)量和能量等價，可以相互轉(zhuǎn)化。
然而，真正的質(zhì)能方程是靜能的表達式。這里面的質(zhì)量是一個不變量，為了避免造成混亂，有時不得不刻意的稱之為靜質(zhì)量。
其實，這種做法是完全沒必要的。換句話說，動質(zhì)量是一個完全多余的概念。
按照能量關(guān)系式，既然動質(zhì)量與能量之間只差一個光速，而光速又是不變量，這說明動質(zhì)量實際上是度量能量的尺度，它和能量是完全等價的概念。兩個東西實際上是一個東西，這明顯是一種信息冗余，應(yīng)該去掉一個。
特別是當(dāng)采用閔氏幾何語言，將相對論建立在四維時空上時，動質(zhì)量一點必要性都沒有。因此，愛因斯坦也建議將此概念從相對論中去掉 。
擯棄動質(zhì)量的概念，雖然上面的四個關(guān)系式中的三個都回歸復(fù)雜形式，但是物理概念卻更加清晰。質(zhì)量只有一個，它是一個不隨慣性系改變的量。無論一個物體運動速度變得多快或多慢，它的質(zhì)量不會變，能量并沒有在質(zhì)量和能量之間轉(zhuǎn)換。
很多物理書借助洛倫茲變換，考查兩個小球的碰撞過程，推導(dǎo)出動質(zhì)量與速度的依賴關(guān)系，稱之為質(zhì)速關(guān)系。并習(xí)慣在后續(xù)推導(dǎo)中將其當(dāng)作一條推論直接使用，使動質(zhì)量的概念更加流行，其實這是完全沒有必要的。
本文上面的分析過程中，完全避免了動質(zhì)量概念，也都得到了全部的規(guī)律，本身就是明證。
而本節(jié)之所以沒有回避動質(zhì)量這個東東，目的只有一個，就是想告訴讀者，是時候拋棄這個無用的概念了。
總之，動質(zhì)量不是質(zhì)量，動質(zhì)量的概念是雞肋！
1
14
質(zhì)能方程到底說了啥？
現(xiàn)在知道了，質(zhì)能方程指的是靜能關(guān)系式，即 它代表的意思是什么呢？
有人說，這表明，能量與質(zhì)量等價，對嗎？
不對！這么理解又犯了信息冗余的問題，既然二者等價，那還要兩個東西干嘛？事實上，就是因為考慮到動質(zhì)量與能量等價，才把動質(zhì)量的概念摒棄了。
有人說，這表明，物質(zhì)與能量能相互轉(zhuǎn)化，對嗎？
也不對！如果將“物質(zhì)”改成“質(zhì)量”，在一定程度上是正確的。因為，質(zhì)量的確可變，會導(dǎo)致吸收或放出能量，但這種情況是有條件和限度的，并不是隨意轉(zhuǎn)化。實際上，按照物理的習(xí)慣，如果兩個東西能夠互相轉(zhuǎn)化，那應(yīng)該寫成a+b=常數(shù)的形式。例如大家熟知的
它表明動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化。
那么說來說去，質(zhì)能方程到底什么意思呢？
首先，容易理解，一個靜止物體是擁有能量的。例如一個爆炸的炸彈，在爆炸之前它是靜止的，顯然它蘊藏了大量的能量。實際上，一個物體內(nèi)的包含的能量具有多種形式，它們一起構(gòu)成靜能。
簡單的說，質(zhì)能方程 指出這樣一個事實：一個靜止物體的所擁有的一切能量的總和等于它的質(zhì)量乘以光速的平方。
如果要強調(diào)質(zhì)量這個主角，上面這個話可說成：質(zhì)量等于一個靜止物體所擁有的一切能量除以光速的平方，即 這表明，如果將光速當(dāng)作1，那么一個物體內(nèi)一切能量，包括內(nèi)部組份粒子的靜能——這個占絕大部分，熱能，彈性勢能，電場能，化學(xué)能等，它們都分別體現(xiàn)為該物體的一部分質(zhì)量，而全部這些能量之和等于物體的總質(zhì)量。
一言以蔽之，質(zhì)量是對靜止物體的所含總能量的度量！
由此理解，你自然會想到，一個靜止的物體如果由于某種原因，獲得了能量，那么它的質(zhì)量必然增大，反之，它的質(zhì)量必然減少。
這可以舉很多例子。
你燒開一杯水，假設(shè)水被裝在一個密閉的容器中，那么它的質(zhì)量必然增大了，因為水的溫度升高了，水分子熱運動的動能增加了，這導(dǎo)致系統(tǒng)的靜能變大。
靜止于桌面上的兩個一樣的機械鐘，那個指針走動的鐘比另一個指針停止不動的鐘的質(zhì)量要大一些，因為指針走動意味著它的法條是具有勢能的，同時指針還具有動能，它們都成為整個鐘的靜能的一部分，體現(xiàn)為一部分質(zhì)量。
一個手電筒，當(dāng)它發(fā)出光的時候，它的質(zhì)量也在減少，因為作為靜能的一部分，電池的化學(xué)能以光能的形式輻射出去了，手電筒的靜能減少了。
一根彈簧，由松弛狀態(tài)被拉緊，彈簧獲得了外部能量輸入，變成它的勢能，這個勢能也是彈簧靜能的一部分，因此彈簧的質(zhì)量的增大了。
氫氣與氧氣發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，末態(tài)物質(zhì)的總質(zhì)量必定小于反應(yīng)前氫氣和氧氣的總質(zhì)量，因為反應(yīng)產(chǎn)生了熱，它帶走了原本屬于氫氣和氧氣的一部分質(zhì)量。
氫的同位素氘和氚發(fā)生核聚變反應(yīng)，變成氦，必定也會導(dǎo)致末態(tài)質(zhì)量相對初態(tài)有虧損，因為輕核聚變會放熱。
從這些例子中，我們看到一個事實：物體的質(zhì)量是不守恒的，除非它與外界不發(fā)生能量交換。
什么？質(zhì)量不守恒？不是開玩笑吧？
這似乎很難理解啊，就拿氫氣和氧氣反應(yīng)的事來說吧，既然反應(yīng)前后氫原子和氧原子的數(shù)目都沒變，為什么質(zhì)量會變呢？
1
15
質(zhì)量不守恒定律
學(xué)過中學(xué)化學(xué)的人，都是相信質(zhì)量守恒的。
原子是化學(xué)中的最小單元，也就是說，任何化學(xué)反應(yīng)前后，原子的種類和各類原子的數(shù)目是保持不變的。而每種原子的質(zhì)量不是確定的嗎？那反應(yīng)前后質(zhì)量怎么會變呢？
物質(zhì)分子內(nèi)的原子之間有化學(xué)鍵，如果把原子看作質(zhì)量確定的小球，化學(xué)鍵就可以看作是不同松緊程度的彈簧。分子的總能量不光包含原子的靜能，還包含原子之間相互作用的勢能 ，以及原子振動的動能 。 換句話說，兩個不同的分子，即使所含原子種類和數(shù)目一樣，也就是具有一樣的分子式，因為它們的結(jié)合方式不一樣，導(dǎo)致彼此聚集成分子后所含能量不同，也就是靜止能量不一樣，那么它們的質(zhì)量自然也不一樣。
所以一切與外界有能量交換的化學(xué)反應(yīng)，質(zhì)量必然不守恒。吸熱反應(yīng)，末態(tài)物質(zhì)的質(zhì)量較反應(yīng)前增加，而放熱反應(yīng)，末態(tài)物質(zhì)的質(zhì)量較反應(yīng)前減少。
不過，上式右邊代表靜能成分的三項中，第一項——原子的靜能占絕大部分，其他兩項比重極小，而化學(xué)反應(yīng)吸放熱只與這兩部分有關(guān)，所以化學(xué)反應(yīng)中的吸放的能量不會很大。
因為光速非常大，根據(jù) 化學(xué)反應(yīng)中的熱對應(yīng)的質(zhì)量變化非常非常小，儀器無法測量到這種變化，因此在化學(xué)領(lǐng)域，質(zhì)量守恒定律可認(rèn)為是成立的。
在核裂變或聚變反應(yīng)中，涉及比原子更小的粒子——亞原子級別的質(zhì)量虧損，這種虧損的規(guī)模遠大于化學(xué)過程，因此能放出巨大的能量，但其能量的來源與化學(xué)反應(yīng)本質(zhì)上相同——都是源于組份粒子的相互作用和動能的改變引起的質(zhì)量虧損。
由此，自然而然的，你也知道了：質(zhì)量虧損這件事并非只是發(fā)生在核裂變或熱核反應(yīng)中的，而是非常普遍的，日常生活中凡是有能量發(fā)出的過程，質(zhì)量必定虧損了！
例如，當(dāng)你在健身房揮汗如雨時，你的肉身質(zhì)量也在不斷虧損著。而當(dāng)你安靜的躺在陽光沙灘上暴曬時，你的肉分子質(zhì)量也有所浮盈——幸好你秋毫無察。
也就是說，創(chuàng)造質(zhì)量或者虧損質(zhì)量這些事，無時不刻的在我們周圍發(fā)生著。
質(zhì)量不是一個守恒量！
實際上，日常生活中的那些物理的，化學(xué)的，生物的過程，都不滿足質(zhì)量守恒定律，除非系統(tǒng)完全孤立。
因此，也可以說，沒有質(zhì)量守恒定律，只有質(zhì)量不守恒定律。
那為什么質(zhì)量卻是一個不變量呢？因為質(zhì)量不變是指不同的參考系看到的同一個物體的質(zhì)量相等這一事實，它只涉及時空變換，不涉及物理過程。
與質(zhì)量相反，能量和動量是守恒量，但卻不是不變量。
那么，有沒有既是不變量，又是守恒量的物理量？
有的，電荷就是一個例子。
1
16
質(zhì)量不是物質(zhì)本身
講到現(xiàn)在，我想你應(yīng)該意識到這么一個問題：一直以來，很多人把質(zhì)量等價于物質(zhì)本身了！
質(zhì)量是什么？回想中學(xué)物理對質(zhì)量一詞的描述：物體所含物質(zhì)的多少。而牛頓提出，質(zhì)量是用來量度物質(zhì)的多少的物理量?？梢钥吹?，質(zhì)量定義本身是比較模糊的，導(dǎo)致人們很容易將質(zhì)量看成物質(zhì)本身。
正因為我們相信化學(xué)反應(yīng)前后原子種類和數(shù)量不變，也就是所謂物質(zhì)不滅。如果我們將質(zhì)量和物質(zhì)混淆，那么就自然而然覺得，普通的化學(xué)反應(yīng)和日常生活中的一切過程質(zhì)量應(yīng)該守恒。
然而，根據(jù)能量交換必然導(dǎo)致質(zhì)量不守恒這樣一個事實，我們意識到粒子組成物質(zhì)時，其質(zhì)量并不等于組份粒子質(zhì)量之和。
比如下面這個分子模型，原子之間的彈簧力——化學(xué)鍵帶來了影響，整個分子的質(zhì)量并不等于兩個原子質(zhì)量之和。
組成氦原子的質(zhì)子、中子和電子的質(zhì)量總和比一個氦原子的質(zhì)量大！但粒子的種類和數(shù)量其實并沒有變。也就是說，構(gòu)成氦原子的材料其實并沒變，這在化學(xué)里是用另一個物理量來描述的。
這個物理量叫物質(zhì)的量，用來描述物質(zhì)的多少，表示含有一定數(shù)目粒子的集體，單位是摩爾。
如果我們將一定的摩爾量的各種粒子當(dāng)作一定的物質(zhì)成分，那么可以說，化學(xué)反應(yīng)中，物質(zhì)的成分的確保持不變，但總質(zhì)量變了。
所以，質(zhì)量不是物質(zhì)本身，它只是物質(zhì)內(nèi)部全部能量之和的一個尺度。
按此理解，我們可以說質(zhì)量虧損變成能量，能量聚集變成質(zhì)量；但是不能說物質(zhì)虧損變成能量，也不能說能量聚集變成物質(zhì)。
有一些文章在講這個問題時，極力駁斥能量與質(zhì)量相互轉(zhuǎn)換的說法，認(rèn)為這一說法乃無稽之談。他們認(rèn)為，這樣講很容易帶偏。讓人誤以為質(zhì)量虧損時，組成物質(zhì)的粒子本身質(zhì)量虧損了，而實際上，這些粒子并沒有變，改變的是它們聚散的方式和狀態(tài)，換句話說，那些虧損的質(zhì)量本來就不是物質(zhì)，所以也就不存在物質(zhì)變成能量這回事。
但問題是，由于聚散的變化，本來就導(dǎo)致物質(zhì)的質(zhì)量改變了，由于質(zhì)量是物質(zhì)的能量尺度，因此就導(dǎo)致能量與質(zhì)量之間發(fā)生轉(zhuǎn)換，這么理解有問題嗎？只要沒認(rèn)為物質(zhì)變成能量或能量變成物質(zhì)，這么理解沒有任何問題！
所以，關(guān)鍵是要厘清質(zhì)量與物質(zhì)的差別：質(zhì)量不是物質(zhì)本身，它是物質(zhì)作為整體靜止時擁有的能量的尺度！
只要抓住這一點，你說質(zhì)量變成能量，能量變成質(zhì)量，有什么問題呢！不能因為擔(dān)心別人把質(zhì)量當(dāng)成物質(zhì)本身，就否認(rèn)質(zhì)能轉(zhuǎn)換這一事實??！何況“質(zhì)量虧損”的意思很清楚，質(zhì)量不守恒，變成能量了！
1
17
光子的質(zhì)量是零
光子的運動速度是光速，按照相對論動量和能量公式，如果它具有質(zhì)量，那么它的動量和能量都將是無限大。這是不可能的，所以光子的質(zhì)量必為零。
但是，問題馬上來了，光子沒有質(zhì)量，那么它的動量該如何定義？
同時，由于光子沒有質(zhì)量，質(zhì)能方程對光子就變成了0=0這種無用形式了。
看來，光子實在太特殊了，接連兩個關(guān)系式對它都失效了！所以需要尋找一個新的質(zhì)能關(guān)系。
什么？難道還有其他形式的質(zhì)能方程？
是的！根據(jù)動量、能量和靜能的表達式，很容易推出
這就是更一般的質(zhì)能關(guān)系式，一般被稱為“相對論能量-動量關(guān)系”。它適用于一切粒子——無論是否有質(zhì)量。
對光子來說，該關(guān)系式右邊第二項為零，但是光子有能量，要使此式成立，光子必然有動量，即 因此，光子的能量不是通過質(zhì)量持有的，而是通過動量獲得的。
順便說一下，根據(jù)愛因斯坦的光量子理論，光子是能量為 的能量子，其中 為普朗克常量， 為所對應(yīng)的光的頻率。聯(lián)立上面二式，光子的動量與它的波長的關(guān)系為 這兩個公式就是愛因斯坦關(guān)于光的波粒二象性的數(shù)學(xué)表示。
基于這種能量子的觀點，光子可被簡單的看作一份能量，換句話說，當(dāng)你討論物質(zhì)與光子的關(guān)系的時候，你也可以說成物質(zhì)與能量的關(guān)系。
和發(fā)光一樣，熱輻射本質(zhì)上也是電磁波的輻射，也就是放出光子。因此一個放熱過程中，質(zhì)量不斷被消耗，變成光子?；蛘哒f，質(zhì)量不斷被變成能量。
另一方面，能量也可凝聚成質(zhì)量，這聽起來好像是天方夜譚。但卻在地球上時刻發(fā)生著，光合作用就是典型的代表。
太陽光攜帶能量照射到地球上，萬物吸收光而孕育、生長。雖然萬物體內(nèi)的原子個數(shù)和種類并沒有因為光照而改變，但原子之間的相互作用發(fā)生了改變，質(zhì)量增加了，光凝聚為質(zhì)量。
可見，光的確很特殊，它可以成為質(zhì)量的墳場，它還是質(zhì)量的源泉。
不過，質(zhì)量與能量之間的轉(zhuǎn)換很難涉及實物粒子。如果只是化學(xué)反應(yīng)，所有的原子都是不變的。如果是核反應(yīng)，反應(yīng)前后的物質(zhì)粒子有變，且質(zhì)量改變遠遠大于化學(xué)反應(yīng)，但其所占體系總質(zhì)量的比重依然非常小。
由于聚變反應(yīng)，太陽每秒有426萬噸質(zhì)量轉(zhuǎn)化成能量輻射到太空 。但比起太陽自身質(zhì)量，這是微不足道的，因為太陽總質(zhì)量為2000億億億噸。即使加上因為發(fā)射太陽風(fēng)而導(dǎo)致的質(zhì)量損失——每秒鐘150萬噸，太陽每年質(zhì)量減少約181萬億噸，占太陽質(zhì)量的比重大約只有 。
可見，由于能量的吸放所導(dǎo)致的質(zhì)量盈虧是微不足道的。
因此，你別指望能輕易將一個小粉筆頭的質(zhì)量全部變成能量。反過來，你也別指望能輕易從空無一物的空間中，通過能量聚集生產(chǎn)出實物粒子來。
雖然物理上有真空激發(fā)的說法，但那只是由不確定原理導(dǎo)致的一種量子漲落，存在的時間太短而不可觀察。真正實現(xiàn)將全部的能量變成質(zhì)量是很難的，也許宇宙大爆炸是一個例子？
不過說歸說，上帝都阻止不了人類科技的進步，說不定已經(jīng)有所突破了呢！
于是帶著疑問搜索了一下最新動態(tài)，發(fā)現(xiàn)美國的RHIC-STAR國際合作組最新于2021年初發(fā)表的一篇論文 中報告了首次實現(xiàn)的光生物質(zhì)的實驗，觀測證據(jù)顯示光子碰撞后生成了正負電子對——實現(xiàn)了百分百從純能量生成物質(zhì)。
不過，反過來的事情早就已經(jīng)實現(xiàn)了。實驗表明，正反粒子相遇會湮滅成光子，由于光子沒有質(zhì)量，所以這種湮滅過程會導(dǎo)致100%的質(zhì)量虧損，質(zhì)量完全變成了虛空的能量。
1
18
最后的話
行文至此，關(guān)于質(zhì)能方程，該講的基本都講了。
這篇文章與本人最初的想法相去甚遠。原本計劃按照洛倫茲變換入手，沿傳統(tǒng)路線闡述：先證明質(zhì)速關(guān)系，再通過牛頓定律寫出力，然后計算做功得到動能，最后得到質(zhì)能方程。這是大多數(shù)物理書的思路。
但是，后來覺得，不講閔可夫斯基四維時空，好像很難說清洛倫茲變換。而若扯到閔氏幾何，那內(nèi)容又太多了。
并且，后來又意識到，利用質(zhì)速關(guān)系時，不可避免的要使用動質(zhì)量的概念。而動質(zhì)量這個概念在本人看來完全多余，早就應(yīng)該摒棄。
所以后來就干脆采用了最費力的方式——從最小作用量原理切入。但這樣一來，就很難避免變分這個問題了。但后來索性就這樣講了，反正變分講清楚也沒什么大不了的，無非看著嚇人罷了。只要有一定的微積分基礎(chǔ)，理解起來也不難。
但無論如何，可能有不少人覺得不合胃口。但本人覺得，這應(yīng)該算是最有理有據(jù)的理解質(zhì)能方程的思路之一。雖然有些東西可能本不需要涉及，但作為完整性，講清楚也不錯，免得讀者還要去另外翻資料。
聯(lián)系客服
