(1 華中科技大學(xué) 物理學(xué)院&武漢光電國(guó)家研究中心)
(2 華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(光谷第一中學(xué)))
(3 湖北大學(xué)物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院)
本文選自《物理》2021年第6期
01
引 子
[1—3]
[2]
阿基米德(公元前287—212年)是一位偉大的科學(xué)家(圖1)，是靜態(tài)力學(xué)與流體力學(xué)的奠基人[1—3]。實(shí)際上，他的名字Archimedes很獨(dú)特[2]，非常適合阿基米德本人。“阿基”(Arche)是原理、規(guī)劃、第一，“米德”(medes)即頭腦、智慧、機(jī)智。完整地念他的名字，“Archimedes”就是“第一號(hào)頭腦”。這位被后世稱(chēng)為最偉大的四位數(shù)學(xué)家之一的阿基米德，在科學(xué)上有眾多建樹(shù)，其中最著名的是人人皆知的冠以其名的計(jì)算浮力大小的“阿基米德原理”。
[1，4]
圖1 阿基米德是人類(lèi)歷史上最偉大的四位數(shù)學(xué)家之一(其余三位分別是：牛頓、歐拉、高斯)。傳說(shuō)他在洗澡過(guò)程中發(fā)現(xiàn)浮力原理即阿基米德原理，于是解決了王冠的純度問(wèn)題(圖片來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)[1，4])
[1,2]
[2,3]
話說(shuō)有人贈(zèng)送國(guó)王一頂金王冠[1,2]，甚為精妙絕倫，堂皇莊嚴(yán)。但國(guó)王不知是否純金，特委托阿基米德解此難題。阿基米德苦思冥想，久不得其解。某日，他在浴盆洗澡，突然大喊“尤里卡”，想到了解決辦法：既然王冠是非規(guī)則物體，體積無(wú)法測(cè)定，但當(dāng)浸入水中時(shí)排出水的體積即為王冠體積。將王冠重量再與具有同樣王冠體積的純金塊相比，就可輕松知道王冠是否純金。阿基米德的《論浮體》清楚地描述了浮力原理[2,3]，其主要內(nèi)容是：浸入液體中物體所受的浮力大小等于物體排開(kāi)液體的重力大小。因?yàn)榘⒒椎率莻髌嫒宋?，后世之人就把阿基米德浮力原理與洗澡辨識(shí)王冠純度聯(lián)系起來(lái)，增加了趣味性和可讀性，以激發(fā)中小學(xué)生勤于思考，熱愛(ài)科學(xué)的原始動(dòng)力。
[5]
阿基米德用天才的大腦給出了浮力的大小與方向。但是，他沒(méi)有對(duì)兩個(gè)密切相關(guān)的問(wèn)題給出明確的答案：(1)液面媒介的面積大小是否對(duì)結(jié)論有影響？(2)物體在液體中受浮力時(shí)，即使達(dá)到重力與浮力的平衡，是否需要考慮穩(wěn)定狀態(tài)？基于作者等在1989年的一個(gè)原始粗淺想法，這兩個(gè)問(wèn)題最近得到了清楚的答案[5]，現(xiàn)將主要內(nèi)容介紹如下。
02
阿基米德原理的本質(zhì)與適用液態(tài)媒介表面積
[5,6]
[5]
b
[5]
均勻長(zhǎng)方體木塊在有限液體表面積上的微量下沉就可以回答第1個(gè)問(wèn)題：揭開(kāi)有限液體表面積的阿基米德原理“隱形匿跡本質(zhì)”[5,6]。如圖2(a)所示[5]，一個(gè)尺寸為a×b×L且密度為ρ(其中a<b<L，ρ<ρ0)的均勻木塊在下降絕對(duì)高度z′后，表面積S0的液體面上升z″的高度，使木塊有一個(gè)總浸入深度 z = z′+z″。木塊繼續(xù)下降微量絕對(duì)高度dz′，將排擠體積為bLdz′的液體到表面，其升高高度為z，液體的重力勢(shì)能增量為ρ0(bLdz′)gz。反過(guò)來(lái)，液體對(duì)木塊的作用力做功為dW=?ρ0(bLdz′)gz，此力即為浮力Fb=dW/dz′=?ρ0bLgzdz′/dz′=?ρ0bLzg，其大小為總排開(kāi)液體的重量，方向向上。此點(diǎn)明確地回答了第1個(gè)問(wèn)題：阿基米德原理對(duì)有限大或無(wú)限大的液體表面均成立。圖2(a)中木塊受力情況，類(lèi)似于一個(gè)圖2(b)中具有彈性系數(shù)ka的半彈簧。有限大表面積液體媒介下阿基米德原理的正確性，則可清晰地由圖2(c)驗(yàn)證[5]。
b
[5,6]
圖2 木塊浸入有限液體表面積情況 (a)尺寸為a×b×L且密度為ρ的木塊總浸入深度z=z′+z″。在木塊浸入之前，b×L面剛好接觸水面O時(shí)，設(shè)重力勢(shì)能和浮力贗勢(shì)能為零；(b)浸入后，木塊所受的浮力情況類(lèi)似于一個(gè)彈性系數(shù)ka的半彈簧，浮力F′b=-kaz′；(c)當(dāng)木塊圓柱底面積稍小于容器底面積(具體數(shù)據(jù)與計(jì)算見(jiàn)文獻(xiàn)[5])，木柱浸入水面，下降很小的絕對(duì)距離后，總浸入高度達(dá)到絕對(duì)下降距離的大約11倍，浮力就足以支撐木柱[5,6]
03
物體在液面上的穩(wěn)定狀態(tài)和浮力贗勢(shì)能
b
[5]
現(xiàn)在回答第2個(gè)問(wèn)題。在一般情況中，大家默認(rèn)液面面積無(wú)窮大，容易忽略木塊浸入液體后重力勢(shì)能的增加。因?yàn)楦×Υ笮≈挥山塍w積決定，且垂直向上，所以可將浮力視為一個(gè)保守力，且引入一個(gè)浮力場(chǎng)Ab [5]，
在無(wú)限大液面情況下，木塊以 b×L 底面浸入時(shí)，力平衡時(shí)木塊下降的絕對(duì)高度和浸入深度都是aρ/ρ0，產(chǎn)生的浮力贗勢(shì)能是
此勢(shì)能并非一個(gè)真的勢(shì)能，只是一個(gè)贗勢(shì)能，代替了木塊浸入后液體的重力勢(shì)能增量。此時(shí)，總勢(shì)能 E = 重力勢(shì)能 + 浮力贗勢(shì)能 = ?mgaρ/ρ0+0.5mgaρ/ρ0，即
基于此，我們考慮木塊在有限面積液面S0的浸入。在木塊受力平衡時(shí)，下降的絕對(duì)高度是(a?V0/S0)ρ/ρ0，浮力贗勢(shì)能是
此時(shí)木塊的總勢(shì)能E′為
[5]
[5]
如果只考慮浮力與重力的平衡：浸入時(shí)排開(kāi)液體的重量等于木塊的重量，這個(gè)尺寸為a×b×L且密度為ρ的均勻長(zhǎng)方體木塊在有限大液面上的漂浮可以采取無(wú)限多種狀態(tài)。如果再考慮到力矩平衡，只會(huì)有6種可能性：分別是a，b，L垂直于液面且以上或下表面為底面的方式浸入。但是，實(shí)際情況卻是木塊以最短的邊長(zhǎng)a垂直浸入才為穩(wěn)定。這是因?yàn)?5)式中的木塊總勢(shì)能E′比其他4種狀態(tài)都要低[5]。另外，在力平衡時(shí)的各種可能狀態(tài)下，木塊在有限大液體表面積的總勢(shì)能比無(wú)限大液體表面積情況下的總勢(shì)能多出一個(gè)恒定的增量ΔE′ [5]，
因?yàn)榇嗽隽颗c可能的力平衡浸入狀態(tài)無(wú)關(guān)，所以無(wú)論在一個(gè)小水盆或一個(gè)大湖表面(假定水密度相同)，一個(gè)木塊的浸入方式是不變的。上方式(2)，(3)，(4)和(5)只是均勻長(zhǎng)方體的情況。如果具有不規(guī)則形狀和/或非均勻密度，則需要利用微積分，請(qǐng)見(jiàn)文獻(xiàn)[5]及其支持信息。
04
驗(yàn)證總勢(shì)能最低狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)
[5]
[5]
-E1′)/mga
2
(E2′- E1′)/mga
圖3 因力平衡和力矩平衡的需求，不同密度的均勻立方木塊(a = 2.00 cm)浸入玻璃缸水中(液面面積 S0 = 0.0263250 m2)的三種可能浸入方式及其能量計(jì)算。因Type III(面對(duì)角線垂直于水面)具有相對(duì)高的總勢(shì)能，為清楚起見(jiàn)，此處被省略。(a)三種可能浸入方式及線性坐標(biāo)下的Type I和Type II隨密度變化的能量計(jì)算曲線；(b)用指數(shù)函數(shù)100(E2′- E1′)/mga放大Type I和Type II浸入方式的總勢(shì)能差別[5]
圖4所示的實(shí)驗(yàn)對(duì)以上計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。在相對(duì)密度為0.7876時(shí)(在0.7754—1區(qū)間)，對(duì)應(yīng)的Type I，II和III的總勢(shì)能分別為?0.39306mga，?0.39380mga(最低)和?0.39217mga，差別非常微小。即使如此，實(shí)際浸入方式是Type II，具有最低能量。
[5]
圖4 104個(gè)立方塊驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)論。50個(gè)相對(duì)密度小于0.2246的塑料泡沫塊(a，d)和13個(gè)相對(duì)密度大于0.7754的木塊(c，d)采取Type Ⅱ的浸入方式；41個(gè)相對(duì)密度在0.2246與0.7754之間的木塊(b，d)采取Type Ⅰ的浸入方式[5]
05
結(jié)語(yǔ)與展望
[7]
[8]
[9]
[5]
[10]
在我國(guó)現(xiàn)行人教版的初中物理教科書(shū)中[7]，阿基米德原理清楚地闡述了浮力的大小和方向。在現(xiàn)行人教版的高中物理教科書(shū)的機(jī)械能章節(jié)[8]，給出了重力勢(shì)能的定義，指出重力勢(shì)能的系統(tǒng)性。在美國(guó)麻省理工學(xué)院大學(xué)物理教學(xué)中，用通常的觀點(diǎn)講述了阿基米德原理[9]。我們認(rèn)為，非常有必要在高中(或者大學(xué))物理教科書(shū)中給出阿基米德原理的機(jī)械能本質(zhì)解釋?zhuān)宄孛枋龉虘B(tài)物體與液態(tài)媒介之間的靜相互作用，并且給出另外一個(gè)非常重要的“力穩(wěn)定”概念，使初中物理中的似乎神來(lái)之筆得到根本性的解釋?zhuān)尦踔形锢砼c高中(或大學(xué))物理在看似獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)上顯示出內(nèi)在的聯(lián)系。這樣可拓寬學(xué)生的眼界，使他們?nèi)跁?huì)貫通，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，增加他們學(xué)習(xí)物理的興趣。我們建議，有必要在重力勢(shì)能部分或者大學(xué)物理中的流體靜力學(xué)部分加入或部分加入這樣的內(nèi)容：“描述固態(tài)物體與液體媒介之間靜態(tài)相互作用力的阿基米德原理，在有限或無(wú)限液體表面積狀態(tài)下都成立；阿基米德原理所描述的浮力本質(zhì)上來(lái)源于液體媒介的重力；液體媒介的重力勢(shì)能可方便地由浮力贗勢(shì)能代替；物體在液體媒介上的穩(wěn)定狀態(tài)是物體的總勢(shì)能最低狀態(tài)”。該液體媒介上物體穩(wěn)定狀態(tài)的文章不僅說(shuō)明浮力和阿基米德原理的本質(zhì)，介紹浮力贗勢(shì)能的新概念，也可在當(dāng)今能源短缺世紀(jì)對(duì)設(shè)計(jì)液體表面漂浮物[5]，如藍(lán)色能源發(fā)電機(jī)的體積重量分布[10]等提供參考。
參考文獻(xiàn)
[1] https://baike.baidu.com/item/阿基米德/121228
[2] 熱維爾·內(nèi)茲，威廉·諾爾 著，曾曉彪 譯. 阿基米德羊皮書(shū). 長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2008
[3] Heath T L編，朱恩寬，常心怡等 譯.阿基米德全集(古希臘)(修訂版). 西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2010
[4] http://www.51yuansu.com/sc/jlcfualtoo.html
[5] Gao B W，Li L，Lu Z C et al. Nano Energy，2019，60：231
[6] https://mp.weixin.qq.com/s/p1BdOJ-Uxu1TK6kBKr0otA
[7] 物理 ，八年級(jí)下. 人民教育出版社，2012，p.48—57
[8] 物理2，第3版. 人民教育出版社，2010，p.63—67
[9] 麻省理工學(xué)院，大學(xué)物理教學(xué)視頻，經(jīng)典力學(xué)，第28講，流體靜力阿基米德流體 動(dòng) 力 學(xué) ，https://www.ixigua.com/pseries/6767619971108307469_6766454925384745483/
[10] Wang Z L. Nature，2017，542：159
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