（1）數(shù)學(xué)是文化的一部分，沒(méi)有任何一門(mén)科學(xué)能像它那樣澤被天下。
（2）這里只就它對(duì)人類精神生活影響最突出之處提出一些看法。
（3）首先，數(shù)學(xué)追求一種完全確定、完全可靠的知識(shí)。例如說(shuō)，歐幾里得平面[注]上的三角形內(nèi)角和為180°，這絕不是說(shuō)“在某種條件下”，“絕大部分”三角形的內(nèi)角和“在某種誤差范圍內(nèi)”為180°，而是在命題的規(guī)定范圍內(nèi)，一切三角形的內(nèi)角和不多不少為180°。產(chǎn)生這個(gè)特點(diǎn)的原因可以由對(duì)象和方法兩個(gè)方面來(lái)說(shuō)明。
（4）希臘文化的背景形成了數(shù)學(xué)研究的對(duì)象并不只是具體問(wèn)題，數(shù)學(xué)所探討的不是轉(zhuǎn)瞬即逝的知識(shí)，而是某種永恒不變的東西。所以，數(shù)學(xué)的對(duì)象必須有明確無(wú)誤的概念，而且其方法必須由明確無(wú)誤的命題開(kāi)始，服從明確無(wú)誤的推理規(guī)則，借以達(dá)到正確的結(jié)論。通過(guò)純粹的思維竟能在認(rèn)識(shí)宇宙上達(dá)到如此確定無(wú)疑的地步，當(dāng)然會(huì)給一切需要思維的人以極大的啟發(fā)。也正因?yàn)檫@樣，數(shù)學(xué)方法既成為人類認(rèn)識(shí)方法的一個(gè)典范，也為人在認(rèn)識(shí)字宙和人類自已時(shí)必須持有的客觀態(tài)度制定了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。
（5）就數(shù)學(xué)本身而言，它的邏輯方法是最突出的。這個(gè)方法發(fā)展成為人們常說(shuō)的公理方法，每個(gè)論點(diǎn)都必須有根據(jù)，都必須持之有理。除了邏輯的要求和實(shí)踐的檢驗(yàn)之外，無(wú)論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令還是流行的風(fēng)尚，統(tǒng)統(tǒng)是沒(méi)有用的。這樣一種求真的態(tài)度，傾畢生之力用理性的思維去解開(kāi)那偉大而永恒的謎——宇宙和人類的真正面目是什么——是人類文化高度發(fā)展的標(biāo)志。這個(gè)偉大的理性探索是數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的文化背景，反過(guò)來(lái)也是數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)于文化最突出的功績(jī)之一。
（6）數(shù)學(xué)作為人類文化組成部分的另一個(gè)特點(diǎn)，是它不斷追求最簡(jiǎn)單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙之根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下進(jìn)行的。這是一種化繁為簡(jiǎn)以求統(tǒng)一的過(guò)程。
（7）從古希臘起，人們就有一個(gè)信念：冥冥之中，宇宙最深處有一個(gè)偉大的，統(tǒng)一的，而且簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)圖，這是一個(gè)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)圖。在一切比較深入的科學(xué)研究后面，必定有一種信念驅(qū)使我們。這個(gè)信念就是：世界是合理的，簡(jiǎn)單的，因而是可以理解的。在古代，這個(gè)信念有些神秘色彩。可是發(fā)展到現(xiàn)代，科學(xué)經(jīng)過(guò)了多次偉大的綜合：歐幾里得的綜合、牛頓的綜合、麥克斯韋的綜合、愛(ài)因斯坦的綜合……哪一次不是或多或少遵循這個(gè)信念?這種深層次的研究是能破除迷信的，它鼓勵(lì)人們按照最深刻的內(nèi)在規(guī)律來(lái)考慮事物。我們?yōu)槭澜鐖D景的精巧和合理而驚喜，這種感情正是人類文化精神的結(jié)晶。數(shù)學(xué)正是在這樣的文化氣氛中成長(zhǎng)的，反過(guò)來(lái)又推動(dòng)這種文化氣氛的發(fā)展。
（8）數(shù)學(xué)的再一個(gè)特點(diǎn)是它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己，在發(fā)揮自己力量的同時(shí)，又研究自己的局限性。
（9）大家都說(shuō)，數(shù)學(xué)最需要嚴(yán)格性，數(shù)學(xué)家就要問(wèn)：什么叫嚴(yán)格性?大家都說(shuō)，數(shù)學(xué)在證明一串串的定理，數(shù)學(xué)家就要問(wèn)：什么叫證明?數(shù)學(xué)越發(fā)展，取得的成就越大，數(shù)學(xué)家就越要問(wèn)：自己的基礎(chǔ)是不是鞏固?越是在表面上看來(lái)沒(méi)有問(wèn)題的地方，越要找出問(wèn)題來(lái)。孟子自嘲地說(shuō)：“予豈好辯哉，予不得已也!”數(shù)學(xué)家只需要換一個(gè)字：“予豈好‘變’哉，予不得已也!”任何科學(xué)要發(fā)展都得變，但只是在與實(shí)際存在的事物、現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果發(fā)生矛盾時(shí)才變。唯有數(shù)學(xué)，時(shí)常是在理性思維感到有了問(wèn)題時(shí)就要變。而且，其他科學(xué)中“變”的傾向，時(shí)常是由數(shù)學(xué)中的“變”直接或間接引起的。而這種“變”的結(jié)果是——“從一無(wú)所有之中創(chuàng)造了新的宇宙”。
（10）數(shù)學(xué)是一株參天大樹(shù)，它向天空伸出自己的枝葉，吸收陽(yáng)光。它不斷擴(kuò)展自己的領(lǐng)地。在它的樹(shù)干上有越來(lái)越多的鳥(niǎo)巢，它為越來(lái)越多的學(xué)科提供支持，也從越來(lái)越多的學(xué)科中吸取營(yíng)養(yǎng)。它又把自己的根伸向越來(lái)越深的理性思維的土地中，越來(lái)越牢固地站立。從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)是人類理性發(fā)展的最高成就之一。
（11）數(shù)學(xué)作為文化的一部分，表達(dá)了一種探索精神。人總有一個(gè)信念：宇宙是有秩序的。數(shù)學(xué)家更進(jìn)一步相信，這個(gè)秩序是可以用數(shù)學(xué)表達(dá)的，人應(yīng)該去探索這種深層的、內(nèi)在的秩序，以此來(lái)滿足自身的需要。因此，數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其永恒的主題是“認(rèn)識(shí)宇宙，也認(rèn)識(shí)人類自己”。（齊民友《緒言》，有刪改）
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