在推進與深化課程改革的今天，一線教師對新課程所倡導(dǎo)的教育教學(xué)理念可謂“耳熟能詳”。但反觀課堂教學(xué)，卻發(fā)現(xiàn)仍有部分教師口頭上是“新理念”，但行為上卻是“舊方法”，或者是形式上的“新理念”。不能將新課程理念轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為的因素很多，但其核心是缺少對新理念內(nèi)涵的深入解讀，即是處于一種“有理念沒概念”的層面。因此，深化課程改革，實現(xiàn)有效的課堂教學(xué)要將“理念轉(zhuǎn)化為概念，概念轉(zhuǎn)化為行為”。
倡導(dǎo)“做數(shù)學(xué)”，在“做”的過程中掌握基本知識與技能，體驗感悟數(shù)學(xué)的思想方法，并學(xué)會運用數(shù)學(xué)解決實際問題，進而感受到數(shù)學(xué)的神奇魅力與應(yīng)用價值等是數(shù)學(xué)課程改革的重要目標(biāo)。但需要追問的是：
我們真地理解小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的基本概念嗎？什么叫“理解”？
什么是“做數(shù)學(xué)”？“做”是否有不同的層次？
什么是數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵？小學(xué)階段如何滲透數(shù)學(xué)的思想方法？
如何讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生積極的情感體驗？
本文將以筆者在教學(xué)中所積累的“小故事”為例來分析如何將理念轉(zhuǎn)化為概念，如何將概念轉(zhuǎn)化為行為，真正實現(xiàn)有效的課堂教學(xué)。
案例一：“我是數(shù)鴨子數(shù)出來 的”
四則運算是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，也是核心內(nèi)容。加減法幾乎成為每一個人的常識。但也正由于這種“常識性”，使得作為成人的教師往往按照成人的思維習(xí)慣來看待學(xué)生的學(xué)習(xí)，既使學(xué)生不能獲得基本的知識、技能，又使學(xué)生遭遇學(xué)習(xí)過程中的人為障礙，從而逐步對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭惡。下面是一位教師在教學(xué)一年級“加法的初步認識”時的教學(xué)片斷。
教學(xué)片斷：認識加法。
（為了認識加法，上課教師在課前有一個游戲：左手拿3塊糖，右手拿2塊糖，然后“合并”起來，讓學(xué)生猜猜教師手里一共有多少塊糖。學(xué)生一起數(shù)一數(shù)，教師強調(diào)“合在一起”“一共”等詞語，然后正式上課）
第一個情境（用動畫演示）：大樹上有2只小鳥，然后又飛來一只小鳥，現(xiàn)在大樹上有幾只小鳥？
（畫面上有3只小鳥）
學(xué)生重復(fù)該問題，教師強調(diào)“兩部分合起來”一共有多少就用加法計算，并列算式為：2＋1＝3。
教師進一步提問：“2”表示什么？“1”表示什么？“3”表示什么？并進一步抽象出：已知一部分和另一部分，求整體是多少就用加法計算。教師用手勢進一步強調(diào)“部分”與“整體”。
第二個情境（用動畫演示）：池塘里有3只鴨子，然后又游過來2只鴨子，現(xiàn)在有多少只鴨子？
（畫面上有5只鴨子）
學(xué)生列出算式：3＋2＝5。
師：為什么用加法？
生：因為本來就是加法。
生：因為又游來了2只。
生：要是用減法，就表示2只鴨子游走了。
教師進一步強調(diào)求“一共”有多少只，就是合并起來（手勢）有多少，要用加法計算。
師：要是沒有這個圖，你能知道2＋3為什么等于5嗎？
生：就好比馬路上有車，或其他的物體也行。
（師沒有讓他繼續(xù)說下去）
生：我是數(shù)鴨子數(shù)出來的。
生：就用口算。
師：再想想5可以分成幾和幾？
在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生終于知道了“因為5可以分成3和2，所以2＋3＝5”。然后教師讓學(xué)生再“這樣”說了兩遍。
第三個情境：教師同時出示兩幅圖片，左邊圖片上有1個梨，右邊圖片上有3個梨。
師：看到這幅圖，你能得到哪些數(shù)學(xué)信息？
生：原先有1個梨，再拿來2個梨，現(xiàn)在有3個梨。
師：（糾正）左邊有1個梨，右邊有3個梨，合起來一共有多少個梨？
學(xué)生列算式計算，教師再追問“1+3”為什么等于4。
在教師引導(dǎo)下，通過數(shù)的組成與分解來說明“1+3”為什么等于4。
診斷與分析
一、什么是加法：現(xiàn)實情境與數(shù)學(xué)化
“加法”不就是求“兩部分合起來一共有多少”嗎？但為什么在上述教學(xué)中當(dāng)出示第三個情境時，學(xué)生說“原先有1個梨，再拿來2個梨，現(xiàn)在有3個梨”？學(xué)生并沒有說“左邊有1個梨，右邊有3個梨，合起來一共有多少個梨”。
美國學(xué)者富森指出，正整數(shù)加減法的現(xiàn)實意義主要包括以下幾方面：（1）聚合；（2）比較；（3）增加性變化；（4）減少性變化。在現(xiàn)實意義中，這四種情境之間存在重要區(qū)別：前兩者所反映的是兩個數(shù)量之間的靜態(tài)關(guān)系（即二元靜態(tài)關(guān)系），后兩者所涉及的則是同一數(shù)量的變化，從而就是一個動態(tài)的過程（即一元動態(tài)變化）。無論是二元靜態(tài)關(guān)系還是一元動態(tài)變化，他們所對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式都是相同的，例如，2+3=5，既可以表示池塘里原來有2只鴨子，后來又游過來3只鴨子，問現(xiàn)在池塘里有多少只鴨子；也可以表示盤子里有2個蘋果，盤子以外有3個蘋果，問一共有多少個蘋果。這是最基本的“數(shù)學(xué)化”。
上述教學(xué)片斷顯然只是關(guān)注了“加法”的動態(tài)模型，即只是一個量隨時間順序上的“增加”，而忽視了加法的“靜態(tài)”模型，即“兩個并列部分合并起來”，尤其當(dāng)兩部分不是同一類事物求“和”時，學(xué)生理解起來更有困難。例如，小紅有5個蘋果，小明有3個梨，他們兩人一共有多少個水果？當(dāng)進行兩種水果的個數(shù)比較時，學(xué)生理解的難度更大——需要抽象，即只關(guān)注水果的個數(shù)而忽視其他物理屬性。
教學(xué)中出現(xiàn)這樣的現(xiàn)狀（只強調(diào)動態(tài)模型）與富森的研究結(jié)果一致，他在美國也發(fā)現(xiàn)，無論就教材還是就教師的實際教學(xué)工作，人們所強調(diào)的往往是動態(tài)意義。又因為動態(tài)意義恰好與實際的計算過程相呼應(yīng)，從而也就十分容易為學(xué)生所接受。
但恰恰相反，理解“運算”，我們必須注意運算的各種豐富的現(xiàn)實情境，讓學(xué)生在各種不同情境中逐步辨別抽象出“數(shù)學(xué)模型”，然后才能進一步去掉現(xiàn)實情境抽象出“數(shù)學(xué)模型”。從抽象的數(shù)量關(guān)系的角度看，上述問題就只涉及三個量，可以以其中的任意兩個量作為已知量而去求第三個量。例如，兩個數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？當(dāng)然這樣的抽象過程應(yīng)隨著學(xué)生年齡的增加而逐步實現(xiàn)，在小學(xué)低年級的重要工作是提供大量的、具有豐富意義的現(xiàn)實情境，讓學(xué)生在解決實際問題的過程中逐步（到中高年級）實現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”。
二、“我是數(shù)鴨子數(shù)出來的”
“2+3”為什么等于5？是因為“5可以分成3和2，或者2和3可以組成5”嗎？學(xué)生在計算時經(jīng)歷怎樣的思維過程？我們是否把成人的思維方式強加給學(xué)生了？
由于成人進行加減計算時幾乎成了一種自動化的行為，容易對學(xué)生在學(xué)習(xí)加減計算過程中的思維活動、特別是所經(jīng)歷的思維發(fā)展過程認識不足，要么忽視其思維過程，要么將自認為的“理由”強加給學(xué)生。
為此，富森指出，學(xué)生對于加減法的概念結(jié)構(gòu)主要有兩種：
1、單一性概念結(jié)構(gòu)。
單一性概念結(jié)構(gòu)主要指在計算時主要涉及一個計算單位。例如，20以內(nèi)的加減法，它的運算對象只有一個計數(shù)單位“一”。雖然計算結(jié)果會出現(xiàn)計數(shù)單位“十”，但“十”并沒有作為獨立的計數(shù)單位再進一步計算。例如，沒有涉及2個“十”與3個“十”的“和”或“差”。
富森又進一步將“單一性概念結(jié)構(gòu)”細化為三個階段，或者說三個水平。
第一階段：兒童主要借助于“實物”，將合并在一起的“實物”從“1”開始數(shù)起。例如，在本教學(xué)過程中，為什么是5只鴨子呢？學(xué)生就是一只鴨子數(shù)1、指著另一只鴨子數(shù)2……一直數(shù)到5，從而得出結(jié)果是“5只鴨子”，即學(xué)生的回答：“我是數(shù)鴨子數(shù)出來的。”
第二階段：簡化的計數(shù)過程。
在這一階段，兩數(shù)相加的和仍是“數(shù)”出來的，只不過兒童已經(jīng)有了進一步的發(fā)展，他們不再是從“1”數(shù)起，而是從第一個加數(shù)開始，繼續(xù)數(shù)下去。例如，6+3=9，兒童的計算過程就是繼續(xù)數(shù)7、8、9，數(shù)三個就結(jié)束，所以6+3=9。
在繼續(xù)數(shù)的過程中，兒童也容易出錯。例如，筆者曾經(jīng)親歷剛上小學(xué)的一個孩子曾經(jīng)連續(xù)三周出錯：6+3=8。教師一直認為是孩子馬虎。到第三周時，她仍然計算6+3等于8。于是問她：“對嗎？”她馬上就能正確地改正。這一次問她：為什么你總是6+3等于8呢？她伸出小手掰著手指（說一個數(shù)就彎下一根手指）說：“老師，不就是6、7、8嗎？就是等于8，可你們非說等于9。”
第三個階段：利用已知事實計算結(jié)果。
這個階段的主要特點是學(xué)生在計算時會利用已知的事實。例如學(xué)生計算9+7，若其過程為9+7=(9+1)+6=10+6=16，這一計算過程顯然直接用到了9+1=10，10+6=16這些“事實”，即學(xué)生運用“湊整”法進行計算是思維的高級階段，這也是為什么新課程強調(diào)算法多樣化并逐步實現(xiàn)最優(yōu)化的原因所在。 在漢語中，由于“一音一字一意”，學(xué)生能夠很方便地利用“已知事實”，例如，“十一就是十加一”，而英語則不具有這樣的優(yōu)勢，例如，“11”叫“eleven”，是一個新單詞，而不是“ten-one”，因而我國小學(xué)生的計算速度快于英美等英語國家。
富森又明確指出，大多數(shù)學(xué)生可以自發(fā)地完成由第一階段向第二階段的轉(zhuǎn)變，特別地，第一個加數(shù)比較大，更有利于轉(zhuǎn)變。而在第三個階段，學(xué)生對數(shù)有更豐富的認識，例如，7=6+1=5+2=4+3=8－1=9－2……建立了更多的聯(lián)系，從而才能表現(xiàn)出思維的更大靈活性，靈活計算是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”的載體。同時富森又指出，這三個階段的劃分不是絕對的，學(xué)生處于哪個階段與其所面對的問題的表述形式以及問題中所包含的數(shù)量的大小有關(guān)，學(xué)生的具體處境也對其處于哪個階段有影響?？傊覀儾粦?yīng)該采取絕對的和靜止的觀點來看待這件事。
2、多單位概念結(jié)構(gòu)。
多單位概念結(jié)構(gòu)主要指運算的對象即計數(shù)單位不僅僅是單一的“一”，而要涉及多個計數(shù)單位，例如，“十”“百”……
富森指出，形成多單位概念結(jié)構(gòu)即掌握豎式加減法計算的三個必要前提是：
（1）認識到只有同一數(shù)位的數(shù)才能直接進行加減；
（2）同一數(shù)位上的數(shù)的加減與個位數(shù)的加減完全相同；
（3）“進位”與“退位”。
顯然，牢固掌握一位數(shù)的加減法是迅速和準(zhǔn)確地進行多位數(shù)加減法的一個必要前提。因此“20以內(nèi)的加減法”是整個計算教學(xué)的核心。借助于漢語的優(yōu)勢，學(xué)生對其能夠達到自動化的程度。
由此可以看出，對加減法的理解的核心仍是對“十進位值制”的理解，加減法的核心是相同計數(shù)單位“個數(shù)”進行“加”或“減”。
案例二：“不是汽車是水果”
學(xué)生在理解減法以及減法計算時可能會遇到很多學(xué)習(xí)加法時所沒有遇到的困難。但加減法也有其共性，即都是解決某類問題的“工具”，或者是對某類問題所抽象出的數(shù)學(xué)模型。因此，學(xué)習(xí)每一種運算的意義就是經(jīng)歷一個“建模”的過程，即是一次“數(shù)學(xué)化”。但教學(xué)如何讓學(xué)生經(jīng)歷這個“過程”？如何在該“過程”中對運算有體驗？下面是北京小學(xué)魏來紅老師在教學(xué)“減法的初步認識”時所發(fā)生的故事：
教學(xué)片斷一：初步認識減法。
教師先利用電腦動畫設(shè)計了一個停車場的情境，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)信息并提出了問題：停車場原來有5輛小汽車，開走了2輛，停車場還剩幾輛小汽車？
學(xué)生很順暢地列出算式并計算，教師把算式板書在黑板上。
教學(xué)片斷二：進一步理解減法。
教師請學(xué)生利用手中的學(xué)具，自己動手“創(chuàng)作”一個用減法解決的問題，并列式解決。
（這一環(huán)節(jié)設(shè)計的目的是讓每個孩子都親歷減法意義的感知過程，并板書學(xué)生所出現(xiàn)的各種不同的減法算式，為后續(xù)觀察、比較、總結(jié)減法意義做素材準(zhǔn)備）
教學(xué)片斷三：匯報交流。
在交流匯報時發(fā)生了如下故事：一個小女孩到實物展臺前一邊演示“小水果”學(xué)具一邊介紹自己剛才的操作過程：“我本來有5個水果，送給同桌2個，我還剩幾個水果？我列的算式是5－2=3。”
話音剛落，一個男孩喊道：“怎么還是5－2=3啊？重復(fù)了！不能寫到黑板上。”
“我沒重復(fù)，這次不是汽車，是水果。”展臺前的女孩不服氣地為自己辯解。坐在下面的男孩竟站起來反駁道：“反正你的算式是5－2=3，還說不重復(fù)？”女孩一臉疑惑地看著教師。
教師請學(xué)生發(fā)表自己的看法，大部分學(xué)生同意男孩的看法，但也覺女孩說的有道理，辯論不出結(jié)果。
這時教師問：“你們還能想一個事情，也用5－2＝3來表示嗎？”于是孩子們思維活躍起來，編出了很多情境。例如：教室里有5個小朋友，走了2個，還剩下3個；草地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，還剩下3朵；5支鉛筆，丟了2支，還剩3支……這時剛剛發(fā)完言的一個學(xué)生不肯坐下：“我還能說這樣的好多事呢，都可以用5－2＝3表示，5－2＝3的本領(lǐng)真大呀。”
教師繼續(xù)捅破“那層窗戶紙”：“為什么有的事情是發(fā)生在停車場里，有的事情發(fā)生在教室里，有的說的是鉛筆，完全都不一樣的事兒，卻能用同一個算式來表示呢？”學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)，雖然事件不一樣，但它們所表示的意思都是一樣的，都是從5里面去掉2，剩下3，所以都用5－2＝3來表示。教師又問：“3＋6＝9可以表示的事情多不多？”這時候?qū)W生竟都不去舉具體的例子，他們脫口而出“那太多了”?？吹胶⒆觽円猹q未盡的樣子，教師問：“你現(xiàn)在有什么想法？”其中一個學(xué)生說：“我覺得數(shù)和算式都太神奇了，能表示那么多不同的事兒。”
診斷與分析
一、作為“模型”的減法
這是一個成功地診斷出學(xué)生爭論的本質(zhì)的案例，并很好地利用這一生成資源，讓學(xué)生質(zhì)疑、爭論、舉例。在教師及時、到位地“點撥”引導(dǎo)下，由于學(xué)生經(jīng)歷的過程非常充分，因而有學(xué)生能夠感悟出“數(shù)和算式都太神奇了”。
教師之所以能夠診斷出學(xué)生“爭論”的本質(zhì)，關(guān)鍵如前面的案例所述：減法也是解決某類問題的一個數(shù)學(xué)模型，它關(guān)注的是抽象的數(shù)量關(guān)系而非現(xiàn)實意義，但學(xué)生真正經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”，必須在大量的現(xiàn)實情境中做出取舍、抽象和概括，只有經(jīng)歷了這個過程，學(xué)生才能真正理解減法的意義，進而對數(shù)學(xué)才能有體驗和感受。
進行加減法的教學(xué)，其核心仍然是理解加減法的意義。學(xué)習(xí)加減法并非只是計算速度的快捷，更重要的：加減法是解決一類問題的重要模型。如果教師沒有這方面的認識，就不能抓住教學(xué)中的生成。例如在案例一中，有學(xué)生說“就好比馬路上有車，或其它物體也行”，是否該學(xué)生想說的就是“3＋2＝5”不僅能解決“鴨子有多少只”，還可以解決“馬路上有多少汽車”或者其他的“求和”問題？由于教師并沒有將“加法是解決一類問題的模型”作為一個教學(xué)目標(biāo)，因而教師就沒有抓住學(xué)生的生成。相反，在案例二中，由于教師認識到“減法是解決一類問題的模型”，因此，課堂就能引導(dǎo)學(xué)生共同討論“水果是否等于汽車”，從而使學(xué)生體驗到“算式真神奇”，這樣的教學(xué)就不單單是計算了，而是對計算意義的深刻理解，從而帶來學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極體驗：算式真神奇！
二、“生成”資源的有效利用源自教師的“大教育觀”
弗賴登塔爾說：“我真想對他們（指數(shù)學(xué)教師）大喊一聲：‘請不要對學(xué)生正在做的事情橫加干涉！您唯一所能做的事情就是觀察，在一旁認真地觀察和傾聽！’”
同樣的課堂“生成”事件，教師可能會有不同的處理方式，比如在這一故事中，教師也可以忽略學(xué)生的質(zhì)疑，簡單地以一句肯定性的話語“是同一個算式，我們就不寫在黑板上了”來結(jié)束學(xué)生的質(zhì)疑。兩種不同處理方式帶給學(xué)生的收獲是什么？
顯然學(xué)生失去了很好的機會來感悟“算式”的高度概括性，進而也感悟不到數(shù)學(xué)的本性。如果長此以往，學(xué)生沒有機會經(jīng)歷這樣的“過程”，學(xué)生的“數(shù)學(xué)觀”會是什么樣??？當(dāng)然，教師會問：都這樣“展開”，教學(xué)任務(wù)能完成嗎？確實，對于課堂教學(xué)中的“生成”事件，我們不能都這樣徹底地展開討論與辯論，是否展開討論是教師的“決策權(quán)力”，是否展開取決于教師的“數(shù)學(xué)觀”“數(shù)學(xué)教學(xué)觀”以及“學(xué)生觀”等一些內(nèi)隱的元素。
本案例中教師為什么會花時間讓學(xué)生進行交流討論呢？顯然，“尊重學(xué)生、傾聽學(xué)生的發(fā)言、學(xué)生是課堂教學(xué)的主體”等“學(xué)生觀”深入該教師的“心”，這是該教師有效利用教學(xué)中的生成資源的必要條件。但有這一“必要條件”還不夠，（更何況這樣的學(xué)生觀并不是都“深入人心”，有的教師僅僅是處于“所倡導(dǎo)”的層面）還要看教師能否判斷出教學(xué)中的“生成”是否揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從現(xiàn)在開始能否反映數(shù)學(xué)思想方法？等等。這兩者缺一不可，而且通過大量的案例分析，我們似乎也可以得出這樣的結(jié)論：教師是否能夠有效地處理“生成”關(guān)鍵在于教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。因為有時學(xué)生的“語言”不能恰當(dāng)?shù)乇硎龀?#8220;思維過程”，因而容易使教師“誤解”學(xué)生。
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