——《比的認(rèn)識(shí)》教學(xué)設(shè)計(jì)

許衛(wèi)兵

按：12月19日，許衛(wèi)兵校長到我校作課講學(xué)。他執(zhí)教的《認(rèn)識(shí)比》，一改常規(guī)教法的“平”和散，通過淺顯的生活實(shí)例，揭示了比的深刻含義，真正體現(xiàn)了他“簡約，不簡單”的教學(xué)主張。未及整理實(shí)錄，先轉(zhuǎn)帖一篇他的文章，以作紀(jì)念。呵呵！

【課前思考】

“比”是六年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，教過的老師都有這樣的感覺：一是“平”，二是“散”。所謂“平”，就是“比”的意義通俗易懂，平淡無奇。翻閱現(xiàn)有課標(biāo)教材大多沿用課程改革前的比的定義，即“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”（人教版、北師版）或“兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除”（蘇教版）。所謂“散”，是指本課涉及的知識(shí)點(diǎn)多，有比的意義、同類量的比和不同類量的比（比的類別）、比各部分的名稱、求比值、比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)聯(lián)，等等，顯得零碎散亂。因?yàn)椤捌健?，不少老師教學(xué)比的意義都是采用告訴式，即讓學(xué)生在簡單地分析兩個(gè)數(shù)量的相除關(guān)系后，就直接說明“這樣的相除關(guān)系還可以說成幾比幾”。因?yàn)椤吧ⅰ?，我們常常見到整?jié)課老師叨嘮個(gè)不停，學(xué)生忙乎個(gè)不停，課堂撐得滿滿的。

簡約數(shù)學(xué)教學(xué)追求從繁復(fù)（或“過于簡單”）走向簡約，并從簡約抵達(dá)豐富?！氨鹊恼J(rèn)識(shí)”如何走向簡約呢？我首先想到了情境，從以往成功的做法中我們發(fā)現(xiàn)，“情境串”往往給課堂帶來整體感，“移步換景”有時(shí)只會(huì)增加負(fù)面干擾。我想到了取材，課堂起不了波瀾，在很多時(shí)候是學(xué)習(xí)素材本身單調(diào)乏味，毫無趣味。我又想到了學(xué)生初始學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，是不是需要用“慢鏡頭”來詮釋概念內(nèi)涵，豐富體驗(yàn)，促進(jìn)理解，而不是簡單“告訴”。本課知識(shí)點(diǎn)雖多，但哪些是基礎(chǔ)的、必須的，哪些是領(lǐng)悟的、理解的，哪些是可以弱化的、忽略的？我還想到了整體建構(gòu)，當(dāng)新舊知完美對(duì)接，當(dāng)“所搬的磚頭都砌成了房子”，課堂的結(jié)構(gòu)化程度就會(huì)明顯增加。我更關(guān)注數(shù)學(xué)本身的深層次解讀：比的本質(zhì)到底是什么，僅僅是兩個(gè)數(shù)相除嗎？為什么在分?jǐn)?shù)和除法都能表示相除關(guān)系的基礎(chǔ)上還要學(xué)習(xí)比？比有什么獨(dú)特的魅力？怎樣讓學(xué)生在學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)更加被數(shù)學(xué)所吸引，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值？……如許多的思考最終都只能匯聚到一點(diǎn)，那就是要通過課堂來實(shí)施。

【教學(xué)預(yù)設(shè)】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出“比”。

師：生活中處處有數(shù)學(xué)，今天的數(shù)學(xué)課就從一則生活小故事開始。

（播放連環(huán)畫，同時(shí)配音）

冬冬到王阿姨家作客，王阿姨用蜂蜜和水泡了一杯蜜茶給他喝，甜味適中，味道很好。幾天后，冬冬家來了幾位好朋友，他也想泡這樣的蜜茶給客人喝?？墒窃趺磁菽?？他打電話給王阿姨，王阿姨說：“我是把10毫升蜂蜜加到90毫升水中的”。

思考：如果你是冬冬，聽了王阿姨的介紹，會(huì)怎樣來配制蜜茶呢？

（生活小故事容易激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，他們有可能想到和王阿姨配法相同，即“10毫升蜂蜜配90毫升水”。老師稍作點(diǎn)撥“人數(shù)增加了，是否可以直接配一大杯蜜茶？”學(xué)生的思路被打開，會(huì)聯(lián)想到類似于“20ml配180ml”“50ml配450ml”等不同情況。）

學(xué)生產(chǎn)生多組數(shù)據(jù)后，引導(dǎo)思考：蜂蜜的量在變，水的量也在變，為什么配制出的蜜茶依然“甜味”沒變呢？當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)蜂蜜和水的倍數(shù)關(guān)系始終沒變后，用除法算式分別求出倍數(shù)關(guān)系：90÷10=9 10÷90=1/9。點(diǎn)明：同樣表示倍數(shù)關(guān)系，出現(xiàn)9和1/9兩個(gè)不同的數(shù)是因?yàn)橄啾容^兩個(gè)量的順序不一樣。

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提煉各種不同配法的相同之處（如圖）：有1份蜂蜜，就要用9份的水來搭配。教師指出：這種情況，在數(shù)學(xué)上有一種簡潔的表述方式（顯示：“水的量和蜂蜜的比是9:1”“蜂蜜的量和水的比是1:9”），這里的“9:1”和“1:9”我們叫做“比”。

（表示倍數(shù)關(guān)系的同類量的比，是“比”的一層含義。學(xué)生借助于生活常識(shí)和已有知識(shí)基礎(chǔ)從多種搭配數(shù)據(jù)中提取不變的元素——倍數(shù)關(guān)系，從固定的倍數(shù)關(guān)系抽取出“份數(shù)”，再由“份數(shù)”引出配比，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，“慢鏡頭”推進(jìn)，為學(xué)生直觀理解比的意義提供了強(qiáng)有力的支持。）

二、說理解釋，認(rèn)識(shí)“比”。

比較“9:1”和“1:9”的意思是否相同，體會(huì)比跟除法算式一樣是有比較順序的，因而，在用比來表述時(shí)一定要把話說完整。然后順接“東東招待客人”的情境，聯(lián)系生活來進(jìn)一步理解倍數(shù)之比：

師：冬冬配好了蜜茶，準(zhǔn)備洗水果招待朋友，一抬頭，看到水池邊洗潔精瓶上就有幾個(gè)比。（放大洗潔精瓶，如圖1）

⑴ 從瓶上抽取一個(gè)比（如圖2），1:8是什么意思？

⑵ 看圖3，說比句，掌握特殊的比1:1。

⑶ 根據(jù)2:3，在圖4上畫出圖例。由洗潔精與水的比是2:3，你還能再想出一個(gè)比嗎？（洗潔精和總量的比是2:5，等）

⑷ 回頭看看剛才研究的幾個(gè)比，說一說：比是什么？

（通過說、比、畫等方式讓學(xué)生對(duì)熟悉的洗潔精瓶上的比進(jìn)行“解釋”，并將研究視角從“部分與部分之比”延伸到“部分與整體之比”，充分?jǐn)U展學(xué)生對(duì)比的直覺感受。在此基礎(chǔ)上再追問“比是什么”，學(xué)生很容易得出“比就是表示倍數(shù)關(guān)系”“比也表示相除”等認(rèn)識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)初步的認(rèn)知建構(gòu)。）

三、類比聯(lián)想，拓展“比”。

師：談到相除，我們并不陌生?；貞浺幌?，在以前的學(xué)習(xí)中我們?cè)?jīng)解決過哪些相除的問題。

依次出示五年級(jí)課本中“購物題材”和“行程題材”、四年級(jí)課本中的“圖形題材”并分別回顧相除關(guān)系：總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)，路程÷速度=時(shí)間，長方形的面積÷長=寬，等。寫出相應(yīng)的除法算式：9.6÷3=3.2（元），53.3÷8.2=6.5（分鐘），360÷90=4（米）。

⑴ 將這些相除的關(guān)系用比表示。（比如：總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)，也就是總價(jià)和數(shù)量的比是9.6:3；路程÷速度=時(shí)間，也就是路程和速度的比是53.3:8.2；……）

⑵ 比的模樣和除法算式挺像的，找一找聯(lián)系和區(qū)別，再介紹比的各部分名稱。

⑶ 比表示兩個(gè)數(shù)相除，自然也就可以算出比的結(jié)果（比值），依次算一算9:1、1:9、9.6:3、53.3:8.2、360:90的比值。

⑷ 聯(lián)系具體題目說一說每一個(gè)比值分別表示什么？（聯(lián)系剛才的研究，指出：比有時(shí)表示倍數(shù)關(guān)系，有時(shí)還表示一種具體的量。）

（集中研究不同類量比重在立體拓展比的意義，逐步完善學(xué)生對(duì)比的認(rèn)識(shí)。讓學(xué)生回顧曾經(jīng)學(xué)過的一些相除關(guān)系，既賦予過去的知識(shí)以新的內(nèi)涵，同時(shí)對(duì)于比的意義、比的類型的理解也更加完整、透徹。）

四、放眼生活，強(qiáng)化“比”。

師：知道了兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除，在日常生活中，你還見到過比嗎？

⑴ 辨析比賽中的“比”。

學(xué)生談到比分后，出示紅隊(duì)、藍(lán)隊(duì)比賽場景圖片和比分2：0。從這個(gè)比中你知道了什么？它是想表示兩隊(duì)比分相除嗎？

“2:0”這個(gè)比本身就提醒了我們它不是表示兩個(gè)數(shù)相除，哪里提醒我們了？

指出：比的后項(xiàng)相當(dāng)于除法中的除數(shù)、分?jǐn)?shù)中的分母，自然也不可以是0。

⑵ 解釋廣告中的“比”。

屏幕顯示兩種常見的電視機(jī)，一種型號(hào)是16:9，一種是4:3，說一說每個(gè)比的意思并和相應(yīng)的電視機(jī)連線。16:9的電視機(jī)最適合人眼視角，視覺沖擊力也強(qiáng)，我們用它來看段視頻。

（播放活力28廣告，截取廣告中出現(xiàn)的比：“用量少1:4”“去污強(qiáng)1:4”“時(shí)間短1:4”“省力氣1:4”“省水電1:4”）

任選其中的一個(gè)比，說一說具體含義。（比如，“用量少1:4”是指同樣的洗衣效果，活力28洗衣粉的用量為1份，普通洗衣粉要用4份。）

⑶ 了解人體中的“比”。

出示“人頭發(fā)的壽命為3年，而睫毛的壽命只有4個(gè)月，寫出頭發(fā)壽命和睫毛壽命的比，并求出比值”。

出示“正常人步行10分鐘走了850米。寫出路程和時(shí)間的比，并算出比值。

對(duì)比提示：一個(gè)比值表示倍數(shù)關(guān)系，一個(gè)比值表示行走的速度，是一種量。

幽默故事。（播放圖片，童聲配音）

一天，丫丫的媽媽帶丫丫去看芭蕾舞表演，第一次看芭蕾舞表演的丫丫很好奇地問媽媽：“媽媽，這個(gè)導(dǎo)演真奇怪！”“為什么呢，寶貝？”“你看他都讓演員踮著腳跳舞，干嘛不找個(gè)高一點(diǎn)的演員呢？”

指出：踮起腳跳舞更美，其中的道理就跟比有關(guān)。老師出示未踮腳和踮起腳的演員腿長和身高，算出腿長和身高的比，求出比值。

未踮腳：90:160=90÷160≈0.563

踮腳后：105:175=105÷175=0.6

師：踮腳后的比值0.6非常接近0.618，而人們研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)比的比值為0.618時(shí)，這個(gè)比就稱為黃金比。所以，芭蕾舞演員踮起腳跳舞是在創(chuàng)造黃金比的美呢！現(xiàn)在，你知道媽媽為什么經(jīng)常穿高跟鞋了吧，她也是在創(chuàng)造黃金比。

（鞏固練習(xí)再一次將學(xué)習(xí)置于生活大背景中，體會(huì)比在生活中的廣泛應(yīng)用。比分2:0的反例，進(jìn)一步厘清比的意義本質(zhì)。黃金比的巧妙介入，不僅使課堂生出很多趣味，而且表達(dá)了人們創(chuàng)造美的智慧。）

五、總結(jié)提升，深挖“比”

回顧全課，說一說收獲。

……

設(shè)疑：既然除法和分?jǐn)?shù)都可以表示兩個(gè)數(shù)相除，那人們?yōu)槭裁催€要?jiǎng)?chuàng)造出比呢？

學(xué)生提出自己的想法后，再次回到“冬冬招待客人”的情境——冬冬和朋友們玩起吹泡的游戲。制作泡泡水要用甘油、水、洗潔液、洗手液混合而成，這四樣?xùn)|西怎樣搭配才能配制出好的泡泡水呢？

（思考片刻后，老師對(duì)應(yīng)著“甘油、水、洗潔液、洗手液”的下方出示1:4:2:2）

釋疑：除法和分?jǐn)?shù)都不能一下子將四種物品之間的倍數(shù)關(guān)系表示出來。多個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系組成連比（顯示：連比），不僅兩兩之間的倍數(shù)關(guān)系很明確，幾個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系都一目了然，威力真大。小小的一個(gè)“比”，看來還蘊(yùn)藏著更豐富的內(nèi)容。

（比區(qū)別于除法、分?jǐn)?shù)的優(yōu)勢(shì)在哪里呢？這是對(duì)比的意義和價(jià)值的深層次追問?；卮疬@一問題，依然立足生活——泡泡水配制中的“連比”——讓學(xué)生切實(shí)感受到比的獨(dú)特功能，拓展了課堂空間，同時(shí)將學(xué)習(xí)的視線投向未來。）

【總論分析】

“比的認(rèn)識(shí)”屬于概念教學(xué)課，本課和其他數(shù)學(xué)概念教學(xué)課有很多的相似性，比如，都關(guān)注數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，用鮮活的生活事實(shí)（事件）來幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵；都注意兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣，營造生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)情境；都強(qiáng)調(diào)概念的系統(tǒng)建構(gòu)，將新知納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去……然而，我們要說明的是本課是如何體現(xiàn)教學(xué)之簡約？孟子說：“言近而指遠(yuǎn)者，善言也。守約而施博者，善道也。”（《孟子·盡心下》）我以為，“比的認(rèn)識(shí)”教學(xué)就是追求于平淡中開掘鮮活，在簡潔中蘊(yùn)含深刻。限于篇幅，情境上的連貫性、素材上的少而精煉、首尾呼應(yīng)的課堂結(jié)構(gòu)等技術(shù)手法不再贅述，僅就教學(xué)的高點(diǎn)定位概述一　二：

1．“言”身邊的事情，“指”概念之本質(zhì)。

數(shù)學(xué)來源于生活，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能止于生活。當(dāng)我們將一個(gè)個(gè)學(xué)生熟悉的生活素材帶進(jìn)課堂時(shí)，我們要思考每一個(gè)事件蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)意義和學(xué)習(xí)價(jià)值，只有在它貼切地、精準(zhǔn)地指向概念的本質(zhì)，揭示概念的內(nèi)涵，促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)理解時(shí)，它才是有“意義”的。比的本質(zhì)是什么呢？僅僅是表示“相除關(guān)系”嗎？王永教授認(rèn)為，“比源于度量，度量解決了物體可度量的屬性（長度、面積、體積、質(zhì)量）的可比性，比卻能夠解決物體不可度量的屬性（顏色、形狀、質(zhì)地等）的可比性。這就是比的本質(zhì)?！保ㄍ跤溃骸侗仁鞘裁础罚缎W(xué)教學(xué)》（數(shù)學(xué)版）2009年第6期）也就是說，比更多是為了表征隱含于數(shù)量之中的、不可度量的事物屬性。據(jù)此，我們回頭思考本課開始配制蜂蜜茶的活動(dòng)，“甜度”是很難直接度量的，用“蜂蜜”和“水”的比就能比較幾種不同配法的“甜度”一樣。這和不少課堂只就一組數(shù)據(jù)（比如一個(gè)長方形的長和寬）直截了當(dāng)?shù)难芯俊跋喑辈a(chǎn)生比要深刻得多。同樣，洗潔液、比分、“活力28廣告”、芭蕾舞等素材無一不是孩子們身邊司空見慣的生活事件，它們或從正面強(qiáng)化、或從反面厘析、或打開思維空間、或帶來奇特感受，指向明，定位準(zhǔn)，層層推進(jìn)中不斷明晰比的特征和價(jià)值。

2．學(xué)習(xí)追求“被吸引”，美麗的風(fēng)景在遠(yuǎn)方。數(shù)學(xué)課堂對(duì)學(xué)生有多大的吸引力，直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感受和學(xué)習(xí)的長效。增強(qiáng)學(xué)生課堂吸引力的方式方法有很多，但是用數(shù)學(xué)材料中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)之美來吸引學(xué)生，是教學(xué)的高境界。“比的認(rèn)識(shí)”全課營造了一種強(qiáng)大的思維“磁場”，將學(xué)生牢牢吸引。從局部環(huán)節(jié)來看，蜂蜜茶的背后是“變”之“不變”的辯證邏輯，最熟悉的體育比分恰恰最不是相除之比的“形神反差”，普通的芭蕾舞隱藏著神奇的“黃金比”……；從整體結(jié)構(gòu)來看，比是什么？比還是什么？比有什么“威力”？一連串的追問，將整節(jié)課化成了環(huán)環(huán)相扣的鏈條，學(xué)生被帶進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度思考，驚喜不斷，欲罷不能。有專家說：驚喜，也是課堂評(píng)價(jià)的一個(gè)重要尺度。當(dāng)我們的課以一種簡約的方式，教出簡單之內(nèi)的豐富，平淡之中的高妙，普通之處的深刻時(shí)，課堂的驚喜就會(huì)在瞬間迸發(fā)。

當(dāng)然，就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，初次接觸某一個(gè)概念或原理時(shí)，我們往往只看到它最樸素、最簡單的形態(tài)，其功能和優(yōu)勢(shì)往往在未來的學(xué)習(xí)中才能領(lǐng)略到。因而，基于當(dāng)下，放眼長遠(yuǎn)也成為簡約數(shù)學(xué)教學(xué)的意蘊(yùn)之一。本課結(jié)束由配制泡泡水引出“連比”，讓學(xué)生看到遠(yuǎn)方有更美的風(fēng)景在等著，正是出于這樣的價(jià)值定位。

——發(fā)表在《江蘇教育》2011年第7-8期