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Logistic回歸與多重線性回歸實(shí)際上有很多相同之處，最大的區(qū)別就在于它們的因變量不同，其他的基本都差不多。正是因?yàn)槿绱?，這兩種回歸可以歸于同一個(gè)家族，即廣義線性模型（generalizedlinear model）。

這一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因變量不同。

• 如果是連續(xù)的，就是多重線性回歸；
• 如果是二項(xiàng)分布，就是Logistic回歸；
• 如果是Poisson分布，就是Poisson回歸；
• 如果是負(fù)二項(xiàng)分布，就是負(fù)二項(xiàng)回歸。

Logistic回歸的因變量可以是二分類的，也可以是多分類的，但是二分類的更為常用，也更加容易解釋。所以實(shí)際中最常用的就是二分類的Logistic回歸。

Logistic回歸的主要用途：

• 尋找危險(xiǎn)因素：尋找某一疾病的危險(xiǎn)因素等；
• 預(yù)測：根據(jù)模型，預(yù)測在不同的自變量情況下，發(fā)生某病或某種情況的概率有多大；
• 判別：實(shí)際上跟預(yù)測有些類似，也是根據(jù)模型，判斷某人屬于某病或?qū)儆谀撤N情況的概率有多大，也就是看一下這個(gè)人有多大的可能性是屬于某病。

Logistic回歸主要在流行病學(xué)中應(yīng)用較多，比較常用的情形是探索某疾病的危險(xiǎn)因素，根據(jù)危險(xiǎn)因素預(yù)測某疾病發(fā)生的概率，等等。例如，想探討胃癌發(fā)生的危險(xiǎn)因素，可以選擇兩組人群，一組是胃癌組，一組是非胃癌組，兩組人群肯定有不同的體征和生活方式等。這里的因變量就是是否胃癌，即“是”或“否”，自變量就可以包括很多了，例如年齡、性別、飲食習(xí)慣、幽門螺桿菌感染等。自變量既可以是連續(xù)的，也可以是分類的。

常規(guī)步驟

Regression問題的常規(guī)步驟為：

1. 尋找h函數(shù)（即hypothesis）；
2. 構(gòu)造J函數(shù)（損失函數(shù)）；
3. 想辦法使得J函數(shù)最小并求得回歸參數(shù)（θ）

構(gòu)造預(yù)測函數(shù)h

Logistic回歸雖然名字里帶“回歸”，但是它實(shí)際上是一種分類方法，主要用于兩分類問題（即輸出只有兩種，分別代表兩個(gè)類別），所以利用了Logistic函數(shù)（或稱為Sigmoid函數(shù)），函數(shù)形式為：

Sigmoid 函數(shù)在有個(gè)很漂亮的“S”形，如下圖所示（引自維基百科）：

下面左圖是一個(gè)線性的決策邊界，右圖是非線性的決策邊界。

對(duì)于線性邊界的情況，邊界形式如下：

構(gòu)造預(yù)測函數(shù)為：

函數(shù)

的值有特殊的含義，它表示結(jié)果取1的概率，因此對(duì)于輸入x分類結(jié)果為類別1和類別0的概率分別為：

構(gòu)造損失函數(shù)J

Cost函數(shù)和J函數(shù)如下，它們是基于最大似然估計(jì)推導(dǎo)得到的。

下面詳細(xì)說明推導(dǎo)的過程：

（1）式綜合起來可以寫成：

取似然函數(shù)為：

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

取為下式，即：

梯度下降法求的最小值

θ更新過程：

θ更新過程可以寫成：

向量化Vectorization

Vectorization是使用矩陣計(jì)算來代替for循環(huán)，以簡化計(jì)算過程，提高效率。

如上式，Σ(...)是一個(gè)求和的過程，顯然需要一個(gè)for語句循環(huán)m次，所以根本沒有完全的實(shí)現(xiàn)vectorization。

下面介紹向量化的過程：

約定訓(xùn)練數(shù)據(jù)的矩陣形式如下，x的每一行為一條訓(xùn)練樣本，而每一列為不同的特稱取值：

θ更新過程可以改為：

綜上所述，Vectorization后θ更新的步驟如下：

正則化Regularization

過擬合問題

對(duì)于線性回歸或邏輯回歸的損失函數(shù)構(gòu)成的模型，可能會(huì)有些權(quán)重很大，有些權(quán)重很小，導(dǎo)致過擬合（就是過分?jǐn)M合了訓(xùn)練數(shù)據(jù)），使得模型的復(fù)雜度提高，泛化能力較差（對(duì)未知數(shù)據(jù)的預(yù)測能力）。

下面左圖即為欠擬合，中圖為合適的擬合，右圖為過擬合。

問題的主因

過擬合問題往往源自過多的特征。

解決方法

1）減少特征數(shù)量（減少特征會(huì)失去一些信息，即使特征選的很好）

• 可用人工選擇要保留的特征；
• 模型選擇算法；

2）正則化（特征較多時(shí)比較有效）

• 保留所有特征，但減少θ的大小

正則化方法

正則化是結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化策略的實(shí)現(xiàn)，是在經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)上加一個(gè)正則化項(xiàng)或懲罰項(xiàng)。正則化項(xiàng)一般是模型復(fù)雜度的單調(diào)遞增函數(shù)，模型越復(fù)雜，正則化項(xiàng)就越大。

從房價(jià)預(yù)測問題開始，這次采用的是多項(xiàng)式回歸。左圖是適當(dāng)擬合，右圖是過擬合。

lambda是正則項(xiàng)系數(shù)：

• 如果它的值很大，說明對(duì)模型的復(fù)雜度懲罰大，對(duì)擬合數(shù)據(jù)的損失懲罰小，這樣它就不會(huì)過分?jǐn)M合數(shù)據(jù)，在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的偏差較大，在未知數(shù)據(jù)上的方差較小，但是可能出現(xiàn)欠擬合的現(xiàn)象；
• 如果它的值很小，說明比較注重對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的擬合，在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的偏差會(huì)小，但是可能會(huì)導(dǎo)致過擬合。

正則化后的梯度下降算法θ的更新變?yōu)椋?/p>

正則化后的線性回歸的Normal Equation的公式為：

其他優(yōu)化算法

• Conjugate gradient method(共軛梯度法)
• Quasi-Newton method(擬牛頓法)
• BFGS method
• L-BFGS(Limited-memory BFGS)

后二者由擬牛頓法引申出來，與梯度下降算法相比，這些算法的優(yōu)點(diǎn)是：

• 第一，不需要手動(dòng)的選擇步長；
• 第二，通常比梯度下降算法快；

但是缺點(diǎn)是更復(fù)雜。

多類分類問題

對(duì)于多類分類問題，可以將其看做成二類分類問題：保留其中的一類，剩下的作為另一類。