1665 年，英國倫敦瘟疫，一個年輕的大學生躲回鄉(xiāng)下老家。
他的名字叫艾薩克·牛頓。
僅用疫情期間的幾個月，就創(chuàng)立了微積分，并成功拿來破解了天上和地上的自然法則。
不久之后，以及無窮的未來歲月，將會讓每一個大學生都有了上這門課的機會。
避疫期間的牛頓，活動范圍不會很大，和家人的交流也不會很多，因為早年喪父，娘又嫁人，家庭關系很一般。
那時候沒有讓人流連忘返的互聯(lián)網，也沒有分分鐘不能離手的手機，牛頓就在自己家里讀書、靜思和演算。
大疫關閉了大學校園，卻關閉不了牛頓的精神世界！
那么，是什么讓牛頓獲得了靈感，開創(chuàng)了一代偉業(yè)呢？
是瘟疫嗎？或者是蘋果？
其實，牛頓自己說過：
如果說我比別人看得更遠的話，是因為我站在巨人的肩膀上。
這句話，其實有說話的背景，但是拋開這點。
這話確實沒錯，那么，這些巨人是誰呢？
是古希臘先賢？是東方智慧？還是牛頓那會兒的時代巨人？
答案隱藏在后面的故事里，讓我們慢慢解開謎底，順便一睹微積分這朵數學奇葩，哦不，是數學之花在芽苞初放時的那個身影。
看完，你可能會對牛頓有一個不同的認識，也可能會見識到那些巨人們在學術道場里擊鼓傳花式的風景。
但是，注意的是，不是說一定要通過歷史去學習微積分。
微積分怎么學，當然是看現在的教材，一本不夠，就多看幾本，總有自己喜歡的。
看過相關歷史的同學可能知道，牛頓在叩開微積分大門的路上有個重要發(fā)現，那就是廣義二項式定理。我們會追尋牛頓的腳步，去看看他是如何發(fā)現這個的秘密工具的呢？
好了，言歸正傳。
話說微積分的單詞 Calculus 是指計算、演算。
說起計算，在計算機發(fā)明出來之前，人們遇到各種計算問題時是怎么處理的呢？具體來說，有哪些計算問題，又分別是怎么處理的呢？
首先，我們快速回顧幾個場景來熱熱身，順便來點計算，活絡一下筋骨，因為微積分之旅多少都是要計算的嘛。
首先，遙想一下在三四千年之前，古代人如何計算一個數的開平方、開立方？比如 和 之類的值。
你可能要問為什么要計算這個數呢？比如，知道正方形的面積求邊長，或者知道立方體的體積求邊長。
問題：已知 ，求 。
這相當于當面積翻倍時，正方形的邊長是原來的幾倍？這樣的問題。
事實上，在已經出土的楔形文字泥板中發(fā)現了美索不達米亞人早在三四千年之前就已經處理了像 這樣的近似值，
怎么，沒看明白這個式子？忘了說，他們用的是 進制。后面三個分數好比十進制的十分之幾、百分之幾以及千分之幾。
這時，從未來穿越過去的希臘人問：
老哥們回了幾句：
誰跟你說必須要用整數之比表示的??！世界這么大， 個數字用有限次就想表示完整了嗎？
你們啊，太年輕，有時候過于幼稚。
圓周長和直徑也是不可公度啊，難道你們永遠逃避，不去計算它嗎？
好了，說正經的。
美索不達米亞計算某個正數 的平方根的步驟并沒有完整記錄，以下步驟是后人推測：
估計一個初值 ，
由 更新值
用兩次值的平均值更新值:
如果 和 的差值達到誤差要求，停止計算；否則繼續(xù)步驟 2。
這是一種迭代算法，這些值可以用分數表示，最后得到一個滿足一定精度的分數。
這些計算在有些職業(yè)那里要經常遇到，為了避免重復計算，可以使用上面這個算法計算一大批數的開平方，制成表，以后需要計算了只要查表和插值即可。
例如，下面給出一部分整數的平方根和立方根的一個表格。
事實上，在已經出土的楔形文字泥板中，有很大比例是這類表格，包括：乘法表、倒數表、平方與立方表，以及平方根與立方根表。
不過，它們都是以 進制的楔形文字寫成的。
甚至還有混合次數的情況，類如 ，其中 為從 到 之間的整數。
通過查這樣的表可以解形如 的方程。
很容易發(fā)現：有些運算，如平方和開平方，滿足 或者 。它們是互逆的，知道其中一個運算的輸入和輸出，另一個運算的也就知道了。
然而這個互逆性并不一定是顯而易見的，有時候需要一定洞察力。為什么這么說呢，讓我們后面沿著數學發(fā)展史一步步來體會吧。
另外，對于求平方根之類問題，我國古代也同樣會涉及。比如《九章算術》中的方法，相當于按照如下恒等式來計算百、十、個位上的數字。
具體過程此處略過，有興趣可以參考《九章算術》。
接著開頭的問題多說一句，如果面對的不是正方形，而是矩形，該如何處理呢？比如已知矩形的面積為 ，兩邊之和為 ，求該矩形的尺寸。這個問題有兩個未知量，用現代的數學符號來處理的話就得到一個方程組，
很容易想到把 代入第一個式子，得 ，即
再加上類似的一些問題，特別是宗教和建筑相關的一些事務引發(fā)了對一元二次方程的求解探索。
這在遙遠的美索不達米亞人那里同樣有計算方法，可能是已知最早的求根公式。
這就是另一幅故事畫卷了，此處略過。
三角學是以研究三角形的邊和角的關系為基礎，應用于測量為目的，同時也研究三角函數的性質及其應用的一門學科。
三角學包括平面三角學和球面三角學，跟我們一般的認識不同，歷史上是先有球面三角學。不是在籃球面上搞計算，而是起源于天文計算，即面向浩瀚無垠而又抬頭可見的天球。
在古希臘，天文學作為數學的一個分支，研究目的是創(chuàng)造可以模擬天體運動現象的幾何模型。
一般來說，這個傳統(tǒng)至少始于畢達哥拉斯（Pythagoras，約前?570 至 前 495）學派。
畢派是一個大幫派，有 logo，就是下面這個五角星。
這個圖形里也有故事，不過先不急，后面再說。
畢派十分重視自然及社會中不變因素的研究，在幾何、算術、天文、音樂等多方面的研究中探索和追求宇宙的和諧規(guī)律性。
他們甚至提出：宇宙間一切事物，例如天上的星體以及人間的音樂等，都可以用整數或整數的比例、平方以及直角三角形等數學理念去反映和證實。
強調一下，天上和地上的東西是可以用同一套理論去解釋，這點在后人如牛頓那里還會再次顯現。
畢派的數學信仰和成就對后世影響巨大，如下面要講的這幾個重量級人物。
柏拉圖（Plato，前 427 至前 347）在《理想國》中將畢派四藝作為哲學教育的基礎，據傳他鼓勵學員歐多克索斯（Eudoxus，約前 410 至前 347）去發(fā)展一套古希臘天文學體系。
歐多克索斯的確是他那個時代最著名的數學家和天文學家。
在數學上，繼往開來，提出了比例論、窮竭法等重要理論和方法，甚至為公理體系的建立奠定基礎，成為后世數學家歐幾里得和阿基米德的肩膀。
在天文學中，歐多克索斯設計了一個基于球體的行星系統(tǒng)。由于畢達哥拉斯認為球體是最完美的形狀，而歐多克索斯及老師 Archytas 深受其影響，于是他開發(fā)了一個基于球體的系統(tǒng)也就不足為奇了。
歐多克索斯提出的由多個旋轉球體組成的同心球系統(tǒng)，每個球體圍繞通過地球中心的軸旋轉。下圖為月球的同心球系統(tǒng)，
歐多克索斯之后的歐幾里得（Euclid，約前 330 至前 275 年）的著作中包含了一些球面幾何知識。
到了亞歷山大時期，希臘定量幾何學中出現一門完全新的學科，即三角術，主要由喜帕恰斯（Hipparchus，約前 190 至前 120 年）, 梅涅勞斯（Menelaus，約 70 至 140） 和托勒密（Ptolemy，約 90 至 168）所創(chuàng)立。
這門新學科是由于人們想建立定量的天文學，以便用來預報天體的運行位置和軌跡，以用于報時、日歷計算、航海和地理研究。
注意，此時的希臘人的三角術是球面三角學（當然也包括了一些平面三角學的基本內容）。他們在前人的基礎上已經知道一些球面幾何知識，例如大圓和球面三角形的許多知識。
三角術的奠基人是喜帕恰斯，此人利用一次日全食在兩地看到的太陽被遮擋的比例不同，計算出了月球的視差以及地月距離。
按照托勒密的說法和用法，喜帕恰斯按照巴比倫人那樣把圓周分為 ，把它的直徑分為 等份。圓周和直徑的每一分度再分成 份，每一小份再繼續(xù)照巴比倫人的 進制往下分成 等份。
然后，對于給定度數的弧 ，喜帕恰斯計算了相應弦的長度，并制作成表，不過他的著作現已失傳。
喜帕恰斯他列出了標準圓周的圓的弦長，他將其設定為 單位（對應 o）。他以 個單位為增量間隔繪制各種度數弧所對應的弦的長度，即步長為 o。下圖展示了喜帕恰斯計算的一段弦，紅色虛線段表示，
從 單位的圓周中取 個單位的角度，即相當于 度，其對應的那段弦的長度為 個單位。
顯然，喜帕恰斯的每條弦形成一個內接在圓內的等腰三角形的底邊，人們可以使用表格中的數據來計算具有相同頂角的其他等腰三角形的邊長。
事實上，喜帕恰斯的表格與現代正弦函數非常相似，不難看出兩者之間的區(qū)別是所涉及的角度剛好是兩倍關系。
從圖中可以看出，我們現在的正弦線是喜帕恰斯弦長度的一半，對應的圓心角也是一半。
Sine 來自拉丁語 sinus，意思是指灣，可以聯(lián)想成正弦線和圓弧之間形成的小海灣。
另外，順便看一下割線，如下圖中的藍色虛線段所示。
藍色虛線段對應正割函數 ，它的長度很容易算得，。即正割函數和余弦函數互為倒數。
正割的英文單詞 Secant 來自拉丁語 secare，切割，意思它切割了圓弧。
我們回到上面的喜帕恰斯的弦圖。圓的弦總是比它所對的弧短，但對于非常小的角度，差異將是微不足道的。因此，對于非常小的角，喜帕恰斯可以將角本身的大小作為對角的弦長的合理的近似值。
遺憾的是，由喜帕恰斯編制的三角表沒有保存下來，但據傳為半徑圓提供了 到 度之間各種中心角的弦長度值，增量為 度半。對于不同半徑的圓，這些值可以按比例縮放。
更完整的和弦表歸功于埃及亞歷山大的托勒密，不過很大程度上這是基于喜帕恰斯的工作改進而來。
與喜帕恰斯一樣，托勒密將圓分成 度，他將直徑分為 個單位，即 度對應的弧長為 個單位。
托勒密的弦表給出了圓心角從 度到 度的弦值，步長為 度。表中的每個元素都包括圓的弧值（以度為單位的圓心角）、弦（以六十進制數表示）以及 'sixtieths'（插值用）。
托勒密通過將連續(xù)兩段弧對應的弦值之間的差值除以 來計算連續(xù)兩段弧中間的步長，用于計算角度不在表中的更高精度角度的弦值，這稱為線性插值，是一種簡單但有效的方法。
看到這里，可能你會想，托勒密到底是怎么計算弦長的呢？該不會是拿個圓內接正多邊形，然后去量邊長吧？
并非如此，托勒密利用了一個定理，大大方便了弦值的計算。這個定理雖然后來是以他的名字命名的，但其實是喜帕恰斯發(fā)現的。
我們來看一個例子，如下圖所示，求 度圓心角對應的弦長 。
托勒密定理：圓內接四邊形的兩組對邊乘積之和等于其對角線的乘積。對于上圖中的圓內接四邊形 ，由托勒密定理得，
然后再根據勾股定理可求得 和 的弦長，即 度圓心角的弦長。
觀察下圖，可發(fā)現一旦 度圓心角的弦長已知，則 度圓心角的弦長也能根據勾股定理計算而得。
有了上面這條，托勒密只要計算從 度到 度每隔半度增量的角度的弦值。
前面計算了 和 度， 度的只要開根號，然后 度的也好說。其他度數這里就不展開了，主要是利用勾股定理和托勒密定理。
下面的表復制了托勒密的弦表中前 個弧值。請注意，下表中添加了十六進制值的十進制值，以使得表中數據更易于理解。
我們也可以將這個表看成弦長和弧長之間的轉換規(guī)則，類似于現在的正弦函數 和它的反函數 。
當然，這里的角度跟正弦函數里的角度的關系上文已經說過。
我們可以稱它為全弦表，以區(qū)別于后世的正弦表。
而三角學中正弦和余弦的概念就是由后來的印度數學家引入的，他們還制作了比托勒密更精確的正弦表。
古代三角學只是作為天文學的一部分內容而已，大概到 世紀，阿拉伯人將三角計算以算術方式代數化，才開始將三角學從天文學中獨立出來。而我們現在用的這些三角函數的正式提出以及弧度制還得等到幾百年以后。
這里除了回顧下三角函數的歷史淵源外，還想說的是角度和弦長之間的關系也是互逆的，知道兩者之一就可以查表獲得另一個值。
它用于評估正弦值等于其對邊與斜邊之比的角度。因此，如果我們知道對邊和斜邊的長度，就可以求出角度的量度。
我們知道天文數字很大，計算起來很費勁。后來有人發(fā)明了對數，大大提高了天文學家的幸福感。
比如，對于某個長數字 ，通過查表可以得到對應的值 。
在講對數之前，我們先來看一下德國數學家施蒂弗爾（Stifel，1487 – 1567）及其重要發(fā)現。
這個人早年是一名神職人員，一開始著迷于研究圣經中字母和單詞的統(tǒng)計特性，用現在的眼光看有點像神棍。比如從名字字母計算出誰誰是惡魔，從數字中預言審判日等。
不過后來還是轉向了數學研究，或許也是他對數字中隱藏著奧秘這個執(zhí)念引導他發(fā)現了一些隱藏在數字序列背后的規(guī)律。
在他 1544 年的名著《Arithmetica integra》中，首次提出了指數的概念。他不僅給出了等差數列 、、、、…… 與幾何級數 、、、、 …… 之間的對應關系，而且他將其向后擴展，使得 對應為 ， 對應 ， 對應 ，以此類推。
他書中列出的兩列數字：
可以看出，他在書中將左邊一列稱為Exponent，就是我們現在所說的指數，是一個等差數列，而右邊一列對應 ，稱為原數，是一個等比數列。并且他還發(fā)現一個規(guī)律，
兩個原數相乘等于指數相加后得到的指數對應的原數；
兩個原數相除等于指數相減后得到的指數對應的原數。
即，
換句話說，可以將右邊那列數的乘除法轉化為其指數的加減法。
你可能會說，這不是對數嗎？
是的，這種運算規(guī)律就是他發(fā)現的。
不過遺憾的是，他并沒有去思考當指數不是整數時的情況。
但他似乎意識到他偶然間發(fā)現了一個重要事情，因此他寫道：關于數字的奇妙事物可能會寫一整本書，但我必須克制并閉上眼睛避開這些事物。
他并沒有利用兩數列間的這一聯(lián)系來引進對數這個概念，這點非常遺憾。但是他的工作啟發(fā)了后人，如納皮爾（Napier，1550 - 1617），比吉爾（Burgi，1552 - 1632）等人正式發(fā)明對數。
納皮爾在 1594 年左右搞出對數的時候就是受了幾何數列和算術數列之間的這種對應關系的啟發(fā)。實際上，納皮爾關心的是簡化為解決天文問題的球面三角的計算工作。
《Arithmetica integra》中處理的另一個主題是負數。負數，現在早已司空見慣了，但在當時，大多數數學家拒絕接受負數并認為它是荒謬的。
然而，施蒂弗爾對數字情有獨鐘，不同于一般人，他使用了負數，將其作為單獨的數來看待。
他還討論了無理數的性質，以及無理數是實數還是虛構的。施蒂弗爾發(fā)現它們對數學非常有用，而且不是可有可無的。
他還涉及了二項式展開系數，用于計算某些高次方程的根。
西方一般稱之為帕斯卡三角，而我們稱之為楊輝三角或更早的賈憲三角。
局限性：上面施蒂弗爾的那個指數表里的指數只涉及整數。
實際上，我們將上一節(jié)的開方與指數一結合，是不是可以表示非整數的指數呢？例如
先來看一個常數，
正如美索不達米亞人所說，這個數再次讓古希臘人難以接受，因為它不能用分數精確表示。
但是，這個數就像圓周率那樣，你到處都會發(fā)現它的身影。比如，實數 的自然對數 就是將 提升到其冪為 的數
那么問題來了，為什么要計算自然對數呢？
當時困擾人們，尤其是天文學家的一個問題是大數算術。所謂的天文數字。天文計算需要非常大的數字的乘法和除法，沒有計算器就很難做到這一點。從前文中那個德國數字大神那里應該可以發(fā)現，使這種大數計算變得更容易的一種方法是從冪次的角度來處理。
正如求冪規(guī)則告訴我們的那樣，要乘以 2 的兩個冪，比如 ，只需要將它們的指數相加。而除法只需通過減去它們的指數來實現。當然，這里只涉及整數次冪。一定意義上說，需要擴展這種機制，因而引發(fā)了對數。
變成對數以后，會大大方便大數的計算。已知某個數 ，人們通過查表來得到 的值。
那么，這個表哪里來的呢？
1614 年，數學家、物理學家和天文學家納皮爾在一篇名為《構建奇妙的對數規(guī)范》的論文中首次發(fā)表了與后來被稱為自然對數非常相似的數表。
這個 本身就很神奇，他又是如何定義了與以 為底的對數非常相似的東西呢？
然而，實際上納皮爾本人并未聽說過數 ，這就更讓人感到奇怪了。
要知道那年代是在微積分、無窮級數計算或坐標幾何之前，函數的概念也還沒有。我們現在認為對數函數是指數函數互逆，但納皮爾工作的時候甚至連指數都還不是一個普遍知道的概念。因此他并沒有從這個函數關系去實現這個任務。
實際上，他的關鍵思想是滿足以下條件的對數的特定定義，
目標：如果一組數字呈幾何級數，那么它們的對數就是算術級數。
要知道，這里的目標是很明確的，就是要使用簡單的加法、減法、乘法和除法來替換相對復雜的乘法、除法、冪次和開方。
因此，粗略地說，納皮爾以幾何級數構造了一組數字，并使用線性插值找到了它們的對數。對于幾何級數，他選擇了常用的比例，例如 。這個取法的目的主要在于做乘法時會比較方便：從數字中減去將它向右移動 個小數位的結果。例如，到小數點后七位， 是，
實際上，他是通過想象點沿著直線移動來做到這一點的！
他通過仔細觀察和思考，發(fā)現一個辦法可以將幾何和算術兩個序列的不同機制聯(lián)系起來。
納皮爾的對數定義如下。
想象一條長度為 (= ) 的線 ，沿該線點 從 移動到 使得它的速度與它到 的距離成正比。
同時，另一條線上的另一個點 ，從 開始，當 在 時，以勻速運動（在 時 的速度）。
請結合下面這個圖，
定義：如果當點 在 時點 在 ，那么長度 的對數被定義為長度 。
易知 以及 （當 時）。
納皮爾要具體實現上文剛說過的目標：當 在相等的時間后被覆蓋時，即 的長度呈算術級數，那么 的長度呈幾何級數。
不妨按照納皮爾的意思來打個比方：
和 兩個點以不同方式散步， 年近耄耋，越走越慢，等比降速， 年輕力壯，以恒定速度走。
這里 的走法讓人想到一句話，那就是惠施說的：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。
只不過這里不一定要日取其半，現代人的生活節(jié)奏變快了，以秒計時。
比如，每一秒取余下的萬分之 之類的。
構造 的目的很顯然，就是為了構造一個幾何級數。
選一個比較小的時間單位，比如就用秒。
假設在 秒之后一人走了 ，另一人走了 ，其中 。如果時間單位很小，則有距離 。
然后在 秒之后得到 以及 。
這種方式構造出來兩列數字，那么它們之間就能滿足對數關系嗎？
雖然納皮爾那會兒并不在意它們之間的具體關系，他要實現的是以指數的加減運算代替原數的乘除運算。
可以動手驗證一下 的乘除是否對應 的加減，記得兩邊除以 。
至于對數關系，我們不妨用現代的符號來作個驗證。由上面兩式可以計算出 以及 ，此時將 以及 代入，得
因此，前面一些值確實有如下關系，
疑問：那他這么構造出來的就是自然對數嗎？好像壓根兒沒有 的身影??！
其實這個關系是后人發(fā)現的，而且不是自然對數，只是含有 。下面我們來一探究竟。
先把上面式子改變一下，得
這樣還是不明顯，在指數那里繼續(xù)改寫，提出一個 ，得
現在有點明目了，能聯(lián)想到如下指數函數，
這個式子實際上是后來歐拉引入的指數函數的正式定義，這里我們先借用一下。
令 ，得
而且由于 是一個非常大的數字，所以納皮爾對數的底，也就是下面這個數
該值非常接近極限 ，顯然它小于 。
由于
也就是，
因此，可以認為 的值非常接近 的以 為底的對數。
以上就是為什么納皮爾的工作往往被認為是數學史上第一次引入了 ，盡管是隱含的。
準確地說，納皮爾的表格給出的是從角度 到 的正弦的對數。
當時離古希臘喜帕恰斯時代已經過去近兩千年了，正弦的定義已經從全弦中提出來了，大致可以追溯到公元 5 世紀的印度數學家 Aryabhata。納皮爾那會兒使用的正弦用現代符號可以表示為 。
納皮爾選擇了 ，因此 和 。他的表格給出了等距角正弦的對數，因此盡管它給出了從 到 的數字的對數，但這些數字并不均勻，即間距并不相等。
下圖是他的表中某頁的一部分：
最后一行表示 ，這里省略掉了小數部分，而對數的值為 。如果從右邊讀取，它給出補角 的正弦，也是該角度的余弦。而兩個對數之差為
我們簡單來驗證一下。
import math
R = 10**7
pi = 3.14159265358979
math.sin(pi*9.5/180)*R, math.log(1650476/R, 1-1/R)
1650476.0586067748, 18015212.727089964
發(fā)現最后兩位還是有些誤差的。
關于 的選擇，是乘以 的較大冪，以便整數部分中有足夠的數字。當然，這個數字取得大，就會多消耗納皮爾的精力去計算。
納皮爾發(fā)明對數是為了簡化球面三角的運算，所以實際上他給出的是三角函數值的對數，但這樣的定義無形中增加了計算對數的困難。
在 1615 年，當時的數學家和天文學家布里格斯（Briggs，1561~1631）向納皮爾提出了一項建設性的意見，用今天的話來說，就是把一個數的對數定義為以 為底情況下這個數的指數。
這樣就使得對數的計算簡單了許多。自此之后，大量的數學家利用各種各樣的方法，計算并制作了許多數據龐大而詳盡的對數表。
例如 1624 年，布里格斯出版了《對數算術》，公布了以 為底的包含 1~20000 及 90000~100000 的 位常用對數表。
而在沒有計算器的時代，這樣的對數表對數學家、天文學家和航海家等來說，無疑就如救世主一般。
關于對數的重要性，最著名的評價無疑是伽利略的名言：給我空間、時間和對數，我就可以創(chuàng)造整個宇宙！
而著名的拉普拉斯也說過：對數的發(fā)明極大的延長了天文學家們的生命。
而對數表退出歷史舞臺，讓位于先進的計算機，也只不過是近幾十年的事而已。
上面說了，引入對數的一大目的就是為了簡化運算，將乘、除、冪次以及開方轉化為加、減、乘和除。
為了感受一下使用對數帶給天文計算的便利，我們來看一個某本書上的例子。
設想一下，你有一份常用對數表，當看到正數 時，就找到 的常用對數 ，反過來看到實數 時，就找到常用對數為 的數字 。
在計算某個 時，首先需要參照常用對數表，對 的常用對數 進行如下的計算：
然后再次參照常用對數表，得
一個量的平方與另一個量的立方成正比，這個規(guī)律似乎并不明顯，因為冪次有那么多，誰知道它們具體呈現的規(guī)律涉及幾次冪呢。
納皮爾設想的點移動問題其實也可以使用微分方程來求解。
注意，此處咱們可不管芝諾的悖論不悖論，讓點暢快地運動起來。
令 是 的長度，而 是 的長度，那么點 的速度為，
其中， 是 在 時的初速度，而點 的速度為，
由兩者可得，
求解這個微分方程，不要忘記它是有初值條件的，那就是 ，得到解
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