函數(shù)是一個(gè)將數(shù)與形結(jié)合在一起的數(shù)學(xué)概念。函數(shù)是一種關(guān)于變量的數(shù)值關(guān)系，函數(shù)也可以看做是幾何坐標(biāo)系中的點(diǎn)的集合，可以是直線，也可是曲線。對(duì)于函數(shù)，任何一個(gè)變量值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值，也即y=f(x)由x的值推導(dǎo)出y的值，而方程是則是表示兩個(gè)數(shù)(可包含一個(gè)或者多個(gè)變量)的一種等式關(guān)系，不一定滿足函數(shù)的一個(gè)變量對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值這個(gè)特性。任何函數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成方程。如果方程滿足這個(gè)特性，則方程可轉(zhuǎn)換成函數(shù)，函數(shù)也可以轉(zhuǎn)換成方程。例如函數(shù)y=2+x是函數(shù)，可轉(zhuǎn)換成方程y-x-2=0；如果方程不滿足這個(gè)特性，則方程不能轉(zhuǎn)換成函數(shù)，例如y*y+x*x=1這是個(gè)方程，但是不能轉(zhuǎn)換成函數(shù)，因?yàn)橐粋€(gè)x的值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)y的值。
初中數(shù)學(xué)知識(shí)大綱中，函數(shù)知識(shí)占了很大的知識(shí)體系比例，學(xué)好了函數(shù)，掌握了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，真正精通了函數(shù)的每一個(gè)模塊知識(shí)，會(huì)做每一類函數(shù)題型，就讀于中考中數(shù)學(xué)成功了一大半，數(shù)學(xué)成績(jī)自然上高峰，同時(shí)，函數(shù)的思想是學(xué)好其他理科類學(xué)科的基礎(chǔ)。
在人教版初中教材中，涉及到方程和函數(shù)的內(nèi)容和順序分別是一次函數(shù)，二次函數(shù)，反函數(shù)。
首先我們整理出課本上關(guān)于函數(shù)的基本知識(shí)。
函數(shù)的定義：初中里是這樣定義函數(shù)的：
設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng),那么就說(shuō)x是自變量,y是x的函數(shù)。(高中或者大學(xué)里面會(huì)學(xué)習(xí)到有多個(gè)類似于變量x這樣的變量對(duì)應(yīng)一個(gè)y值，這樣的方程是多元函數(shù)。)
方程和函數(shù)均為等式，均含有未知數(shù)(變量)，但是不同之處在于函數(shù)至少有兩個(gè)變量(x,y)而且每一個(gè)變量x的值都有唯一一個(gè)y值與它對(duì)應(yīng)。
y=kx+b(k≠0),是一條過(guò)(0,b),(-b/k,0)兩點(diǎn)的一條直線。圖像如下f
其有如下對(duì)稱性函數(shù)。
（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像的解析式為：y=-kx-b ，圖像如下h
（2）關(guān)于y軸對(duì)稱，則直線的解析式為 y=-kx+b，圖像如下g
（3）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則直線的解析式為 y=x/k-b/k，圖像如下k
（4）關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，則直線的解析式為 y=x/k+b/k, 圖像如下i
（5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線的解析式為y=kx-b, 圖像如下j
（6）直線y=kx+a與直線y=lx+b互相垂直，則有k*l=-1
1）正比例函數(shù)y＝kx的圖象是過(guò)原點(diǎn)（0，0）與點(diǎn)（1，k）的一條直線；
一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是過(guò)（0，b）平行于y＝kx的一條直線。
常數(shù)k的幾何意義是表示圖象與x軸傾斜的程度，一次函數(shù)的圖像中，k的絕對(duì)值越大,直線離橫軸就越遠(yuǎn)，越靠近縱軸，與橫軸的夾角越大。b表示圖象在y軸上的截距．（b也表示直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)）。
2）兩個(gè)函數(shù)當(dāng)k相同，表示兩條直線平行，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的b相同（k不相同）表示兩條直線與y軸交于同一點(diǎn)）直線y＝kx，y＝kx＋b所在位置與k、b的符號(hào)有直接的關(guān)系。
k＞0，直線必過(guò)一、三象限；
k＜0，直線必過(guò)二、四象限。
b＞0，直線與y軸正半軸相交；
b＝0，直線過(guò)原點(diǎn)；
b＜0，直線與y軸負(fù)半軸相交。
直線y＝kx＋b（k≠0）的位置與k、b符號(hào)的示意圖如下：
3） 一次函數(shù)圖象是直線，所以可稱直線y＝kx＋b．直線y＝kx＋b均可由直線y＝kx平移而得。
4） 函數(shù)性質(zhì)：k＞0時(shí)y隨x增大而增大； k＜0時(shí)y隨x增大而減小。
5） 一次函數(shù)均可設(shè)為y＝kx＋b（k≠0），這兒的k、b是待定系數(shù)。由已知條件列待定系數(shù)的方程、方程組，可解出k、b的值。
6） 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是這兩條直線解析式組成的方程組的解。
了解一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是令y＝0 ，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是令x＝0，求解得出交點(diǎn)的坐標(biāo)。
7） 點(diǎn)在函數(shù)圖像上，則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足該函數(shù)關(guān)系式，即把坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式后兩邊相等；反之，若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式，則這個(gè)點(diǎn)必在函數(shù)圖像上。
8） 兩直線的位置關(guān)系
直線L1和L2的解析式分別為y=k1x+b1 和y=k2x+b2他們的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定。
因?yàn)閗1和k2 決定了直線的斜率，b1 和b2決定了直線在y軸上交點(diǎn)的位置。
（1）當(dāng)k1≠k2時(shí)，兩直線相交（兩直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)）
（2）當(dāng)k1=k2，b1 ≠b2且時(shí)，兩直線平行（兩直線沒(méi)有交點(diǎn)）
（3）當(dāng)k1=k2，b1 =b2，兩直線重合（兩直線有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)）
注意：在（1）中，可通過(guò)解方程組y=k1x+b1 和y=k2x+b2，求出交點(diǎn)坐標(biāo)。
1、拋物線y=ax*x+bx+c(a≠0)
其有如下對(duì)稱性函數(shù)
①關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像的解析式為：y=-ax*x-bx-c
②關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像的解析式為：y=ax*x-bx+c
③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像的解析式為：y=-ax*x+bx-c
拋物線y=ax*x+bx+c的圖像恒在 軸上方的條件是：a>0,?<>
圖像恒在 軸下方的條件是：a<0,><>
a>0,開(kāi)口向上，有最小值；
a<>
?>=0,則與X軸有交點(diǎn)，?<>
|a|還可以決定開(kāi)口大小, |a|越大開(kāi)口就越小, |a|越小開(kāi)口就越大
2、二次函數(shù)的五種表達(dá)式：
①一般形式：y=ax*x+bx+c(a,b,c為常數(shù)且a≠0)；
【已知二次函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入到解析式中，用待定系數(shù)法求解，還原】；
②頂點(diǎn)形：y=a(x-h)(x-h)+k
【已知二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為h,縱坐標(biāo)為k，還知道二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)另一個(gè)點(diǎn)，并且知道該點(diǎn)的坐標(biāo)，則帶入到解析式求解】；
③兩根形：y=a(x-x1) (x-x2)
【已知二次函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1, x2，并且知道圖像經(jīng)過(guò)另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則帶入求解】；
④對(duì)稱形：y=a(x-x1) (x-x2) +m
【已知二次函數(shù)圖像上兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,m),(x2,m)，并且知道圖像上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則可以利用此解析式帶入求解】；
⑤平移形：將拋物線平移，解析式 中發(fā)生變化的只有頂點(diǎn)坐標(biāo)，因此可先將原函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)形式，再按照“左加右減，上加下減”的法則，即可得出所求函數(shù)解析式.
3、其他相關(guān)問(wèn)題：
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是直線x=-b/2a
當(dāng)圖像的開(kāi)口向上時(shí)，函數(shù)有最小值；當(dāng)圖像的開(kāi)口向下時(shí)，函數(shù)有最大值，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)表示，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為
般來(lái)說(shuō)，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大（或最?。┲怠?/span>
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。
常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于（0，c） ；
拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由 決定
Δ＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn),
Δ=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn),
Δ＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。
如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對(duì)稱軸是y軸，則設(shè)y；
如果對(duì)稱軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則y=ax2+c(a≠0,c≠0)
5、 拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)且a≠0)與y軸的交點(diǎn)為（0，c）。
反比例函數(shù)解析式為y=k/x反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
當(dāng)K＞0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數(shù)（即y隨x的增大而減小）
當(dāng)K＜0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數(shù)（即y隨x的增大而增大）
.對(duì)于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(shù) (即y=k/(x±m(xù)）m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個(gè)單位。（加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移）
注意：雙曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)k的絕對(duì)值越大；雙曲線離原點(diǎn)越近k的絕對(duì)值越小
反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)，就是兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立方程組的解，聯(lián)立后方程組可轉(zhuǎn)化成一元二次方程，通過(guò)解方程求解，如果 ，則兩個(gè)圖像沒(méi)有交點(diǎn)，如果 ，則兩個(gè)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)。
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