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圓中常用輔助線的添法

                                         作者:會

圓是初中數(shù)學(xué)重點內(nèi)容，屬中考必考內(nèi)容，中考中有關(guān)圓的問題，大部分需添輔助線解之，那么圓問題中常用的輔助線有哪些呢？現(xiàn)就圓中常用輔助線的添法作一歸納，以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助．

一、             作弦心距.

在解決有關(guān)弦的問題時，常常作弦心距，以利用垂經(jīng)定理或圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及推論.

求證：PM·PN=2PO².

分析：要證明PM·PN=2PO²，即證明PM·PC =PO²，

過O點作OC⊥PN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理 NC=PC，只需證明

PM·PC=PO²，要證明PM·PC=PO²只需證明Rt△POC∽Rt△PMO.

證明: 過圓心O作OC⊥PN于C，∴PC=

∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.

又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.

∴

PN

二、             作直徑所對的圓周角

在解決有關(guān)直徑的問題時，常常作直徑所對的圓周角，以利用直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)。

例2  如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點O為圓心，以OB為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N．

（1）       求證：BA·BM=BC·BN；

（2）       如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點，當(dāng)AC=3時，求AB的值．

分析：要證BA·BM=BC·BN，需證△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有個直角，而BN是圓O的直徑，所以連結(jié)MN可得∠BMN=90°。

（1）      

∴△ACB∽△NMB

∴

∴AB·BM=BC·BN

（2）       解：連結(jié)OM，則∠OMC=90°

∵N為OC中點

∵OM=OB，∴∠B=

∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6

三、連結(jié)半徑

圓的半徑是圓的重要元素，圓中的許多性質(zhì)如：“同圓的半徑相等”和“圓的切線垂直于過切點的半徑”等都與圓的半徑有關(guān)，連結(jié)半徑是常用的方法之一.

求CD的長.

分析：D為切點，連結(jié)DO，則∠ODA=90°.根據(jù)切線長定理，有CD=CB.DO=EO=半徑r，在Rt△ADO中根據(jù)勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC，即可求出CD.

證明: 連結(jié)DO  ∴OD⊥AC于D, ∴∠ODA =90°.

    ∵AB過O點, ∠B=90°. ∴BC為⊙O的切線, ∴CD=CB

設(shè)CD=CB=x,DO=EO=y

在Rt△ADO中，AO² =AD²+ DO²，AD=2，AE=1

∴

在Rt△ABC中，AC² =AB²+ BC²，即(2+x)²=(1+ y + y)²+x², ∴x=3   ∴CD=3.

四、連結(jié)公共弦

例4．已知：如圖，⊙O₁和⊙O₂相交于點A和B，

O₂O₁的延長線交⊙O₁于點C，CA、CB的延長線分                        

別和⊙O₂相交于點D、E，求證：AD=BE.  

 分析：⊙O₁和⊙O₂是相交的兩圓，作公共弦AB為輔助線.

證明：連結(jié)AB交O₂O₁于P點 ，

∵O₁ O₂⊥A B且O₁O₂平分AB     ∴CA=CB

∴∠ACP=∠BCP     ∴點O₂到線段AD、BE的距離相等   ∴AD=BE.

 五、作連心線

    兩圓相交，連心線垂直平分兩圓的公共弦；兩圓相切，連心線必過切點.通過作兩圓的連心線，可溝通圓心距、公共弦、兩圓半徑之間的關(guān)系.因此，“已知有兩圓，常畫連心線.”.

解：（1）連結(jié)AB、AC、BD

∵⊙A和⊙B外切于P點，∴AB過P點

∵CD為⊙A、⊙B的外公切線，C、D為切點，

∴AC⊥CD，BD⊥CD

過A點作AE⊥BD于E，則四邊形ACDE為矩形.

∴DE=AC= r，BE=BD-DE=3r-r=2r

在Rt△AEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2r

∴AE=

（2）由（1）可知COSB=

∴S_陰影=S梯形_ABDC-S扇形_BPD-S扇形_ACP

=4

－

六、作公切線

分析：相切兩圓過切點有一條公切線，這條公切線在解題時起著非常重要的作用，如下題中所作的內(nèi)公切線MN起到溝通兩圓的作用.因此，相切兩圓過切點的公切線是常用輔助線.

例6．已知：⊙O₁和⊙O₂外切于點A，ＢＣ是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，Ｂ、Ｃ為切點.

證明：過切點Ａ作公切線ＭＮ交ＢＣ于Ｐ點，

∵ＢＣ是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，

∴ＰＢ＝ＰＡ＝ＰＣ

∴∠PBA=∠PAB，∠PAC=∠PCA

∵∠PBA+∠PAB+∠PAC+∠PCA= 180 °.

∴∠BAC= 90 °.

∴ＡＢ⊥AＣ.

七、切線判定分兩種：公共點未知作垂線、公共點已知作半徑

切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時, 往往需要通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線,才能順利地解決問題.下面是添輔助線的小規(guī)律.

1．無點作垂線

需證明的切線，條件中未告之與圓有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.

例7．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于A， BC⊥AB于B，若∠DOC= 90°.

求證：DC是⊙O的切線.

證明：作OE⊥DC于E點，取DC的中點F，連結(jié)OF.

又∵∠DOC= 90°.  ∴ FO=FD  ∴∠1=∠3.

∵AD⊥AB，BC⊥AB,  ∴BC∥AD, ∴OF為梯形的中位線.

∴OF∥AD . ∴  ∠2=∠3.  ∴∠1=∠2.

∴DO是∠ADE的角平分線.  ∵OA⊥DA，OE⊥DC，

∴OA=OE=圓的半徑.  ∴ DC是⊙O的切線.

2．有點連圓心.

當(dāng)直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.

分析：D在⊙O上，有點連圓心，連結(jié)DO，證明DO⊥DC即可. 

證明：連結(jié)DO，∵OC∥AD    ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC

而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO ∴△DOC≌△BOC 

∴∠ODC=∠OBC， ∵BC為⊙O的切線，切點為B

∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切線.

我們可以把圓中常用輔助線的規(guī)律總結(jié)為如下歌訣：

弦與弦心距，密切緊相連；直徑對直角，圓心作半徑；已知有兩圓，常畫連心線；.   

遇到相交圓，連接公共弦；遇到相切圓，作條公切線；“有點連圓心，無點作垂線.”

切線證明法，規(guī)律記心間.