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1 問(wèn)題背景

最長(zhǎng)上升子序列問(wèn)題(Longest Increasing Subsequence)在算法教學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題，在學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)規(guī)劃(Dynamic Programming)相關(guān)內(nèi)容時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)。在動(dòng)態(tài)規(guī)劃這一章節(jié)中出現(xiàn)的頻率只比最長(zhǎng)公共子序列(Longest Common Sequence)小。最長(zhǎng)上升子序列問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法的時(shí)間復(fù)雜度為n²，而我們可以得到的最長(zhǎng)上升子序列的最優(yōu)化算法的復(fù)雜度為nlogn。最長(zhǎng)上升子序列在我們的課程中是作為動(dòng)態(tài)規(guī)劃的聯(lián)系來(lái)做的，這樣就誤導(dǎo)了大家，使得大家認(rèn)為最長(zhǎng)上升子序列問(wèn)題的最優(yōu)算法就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。這樣就違背另外算法研究的精神，所以我寫這篇文章，以正視聽。

問(wèn)題描述

設(shè)A=< x₁,x₂,··· ,x_n>是n個(gè)不等的整數(shù)構(gòu)成的序列，A的一個(gè)單調(diào)遞增子序列<

x_i₁,x_i₂,··· ,x_i_k>使得i₁< i₂< ··· < i_k，且x_i₁< x_i₂< ··· < x_i_k.子序列< x_i₁,x_i₂,··· ,x_i_k>的長(zhǎng)度是含有的整數(shù)個(gè)數(shù)k.例如A =< 1,5,3,8,10,6,4,9 >,他的長(zhǎng)為4的遞增子序列是：

< 1,5,8,10 >,< 1,5,8,9 >,···.設(shè)計(jì)一個(gè)算法求A的一個(gè)最長(zhǎng)的單調(diào)遞增子序列，分析算法的時(shí)間復(fù)雜度.

3 算法思想

設(shè)A[t]表示序列中的第t個(gè)數(shù)F[t]表示從1到tt這一段中以t結(jié)尾的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度F[t] = 0(t = 1,2,··· ,len(A))。則有動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程F[t] = max1,F[j] + 1(j = 1,2,...,t ?

1,且A[j] < A[t]).

現(xiàn)在，我們仔細(xì)考慮計(jì)算F[t]時(shí)的情況。假設(shè)有兩個(gè)元素A[x]且A[y]滿足一下情況.

x < y < t
A[x] < A[y] < A[t]
F[x] = F[y]

此時(shí)，選擇A[x]和選擇A[y]都可以得到同樣的F[t]值，那么，在最長(zhǎng)上升子序列的這個(gè)位置中，應(yīng)該選擇A[x]還是A[y]

很明顯，選擇A[x]比選擇A[y]要好。因?yàn)橛捎跅l件(2)，在A[x + 1]···A[t ? 1]這一段中，如果存在A[z]?A[x] < A[z] < A[y]，則與選擇A[y]相比，將會(huì)得到更長(zhǎng)的上升子序列。再根據(jù)條件(3)，我們會(huì)得到一個(gè)啟示：根據(jù)F[]的值進(jìn)行分類。對(duì)于F[]的每一個(gè)取值k，我們只需要保留滿足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。設(shè)D[k]記錄這個(gè)值，即D[k] = minA[t](F[t] = k)。

注意到D[]的兩個(gè)特點(diǎn)：

D[i]的值是在整個(gè)計(jì)算過(guò)程中是單調(diào)下降的。
D[]的值是有序的，即D[k] < D[k + 1]。

利用D[]，我們可以得到另外一種計(jì)算最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度的方法。設(shè)當(dāng)前已經(jīng)求出的最長(zhǎng)

上升子序列長(zhǎng)度為len。我們利用t來(lái)遍歷A[]，如果A[t]?D[len],則我們將A[t]接在D[len]后面，這樣我們就得到了一個(gè)更長(zhǎng)的上升子序列。此時(shí)更新len = len + 1，D[len] = A[t]；否則在D[1],D[2],··· ,D[len]中尋找最小的j，使得D[j] > A[t],將D[j]更新為A[t],其他不變。最后遍歷完整個(gè)A[]后，len就是A[]中最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。

4 算法正確性的證明

我們用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這個(gè)算法的確返回了A[]中最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。歸納命題如下:對(duì)于1 ≤ t ≤ n,當(dāng)我們處理完A[t]時(shí)，len是A[1],A[2],··· ,A[t]最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。且對(duì)于1 ≤ i ≤ len，D[i]則是A[1],A[2],··· ,A[t]中所有長(zhǎng)度為i的上升序列的的最后一個(gè)數(shù)的最小值。

歸納基礎(chǔ): 當(dāng)t = 1時(shí)，len = 1,D[1] = A[1]命題顯然成立。

歸納假設(shè):如果當(dāng)t = j時(shí)歸納命題成立，則我們現(xiàn)在來(lái)處理A[j + 1]。

如果A[j + 1] > D[len]，根據(jù)歸納假設(shè)，A[1],A[2],··· ,A[j]中最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度為len，且所有的長(zhǎng)度為len的上升子序列的最后一個(gè)數(shù)的最小值為D[len].此時(shí)我們把A[j + 1]接在A[1],A[2],··· ,A[j]中以D[len]為結(jié)尾且長(zhǎng)度為len的單調(diào)遞增子序列的末尾。此時(shí)的到的序列的長(zhǎng)度為len + 1，而且是A[1],A[2],··· ,A[j + 1]的上升子序列。又由于A[1],A[2],··· ,A[j]的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度為len，所以A[1],A[2],··· ,A[j + 1]的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度不會(huì)超過(guò)len + 1.而根據(jù)我們的構(gòu)造得到了一個(gè)長(zhǎng)度為len +
1的上升子序列，所以該序列是A[1],A[2],··· ,A[j + 1]的最長(zhǎng)上升子序列。因此len + 1是A[1],A[2],··· ,A[j + 1]的最長(zhǎng)上升子序列的最大長(zhǎng)度。我們把len更新為len + 1，同時(shí)把D[len]更新為A[j + 1]。而根據(jù)性質(zhì)2，D[i]是不會(huì)變大的，所以原始的D[]不會(huì)受到任何影響。因此處理完A[j + 1]后，len是A[1],A[2],··· ,A[j + 1]最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度且對(duì)于1 ≤ i ≤ len，D[i]則是A[1],A[2],··· ,A[j + 1]中所有長(zhǎng)度為i的上升序列的的最后一個(gè)數(shù)的最小值這個(gè)命題時(shí)成立。
如果A[j + 1] < D[len],根據(jù)歸納假設(shè)，A[1],A[2],··· ,A[j]的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度為len，且所有的長(zhǎng)度為len的上升子序列的最后一個(gè)數(shù)的最小值為D[len]?，F(xiàn)在我們來(lái)證明A[1],A[2],··· ,A[j + 1]最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度不可能是len + 1，這里我們采用反證法來(lái)證明。由于len是原序列中的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度，如果A[1],A[2],··· ,A[j +1]最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度是len + 1，則A[j + 1]一定是這個(gè)最長(zhǎng)上升子序列的末尾。而又由于在A[1],A[2],··· ,A[j]中所有的長(zhǎng)度為len的上升子序列的最后一個(gè)數(shù)的最小值為D[len]，且A[j + 1] < D[len],所以這個(gè)所謂的子序列并不是上升子序列。因此， A[1],A[2],··· ,A[j + 1]最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度不可能是len + 1，len不需要更新處理。但是D[]中的元素可能需要更新為A[j + 1]，為此我們首先在D[1],D[2],··· ,D[len]中尋找最小的i，使得D[i] > A[j + 1].由于性質(zhì)2，我們只能更新一個(gè)D[k]，因?yàn)槿绻聝蓚€(gè)的話，D[]會(huì)有兩個(gè)值為A[j + 1]，就不是一個(gè)單調(diào)遞增序列了。而且根據(jù)性質(zhì)1，
D[k]的值是不會(huì)變大的，所以我們只能更新k ≥ i的某一個(gè)D[k]。同時(shí)又由于性質(zhì)2，我們只能更新D[i]，否則的話D[]中會(huì)出現(xiàn)逆序?qū)Α，F(xiàn)在我們證明更新D[i]是正確的，由于D[i ? 1] < A[j + 1]，所以把A[j + 1]接在以D[i ? 1]結(jié)尾的最長(zhǎng)上升序列的末尾是可行的，這時(shí)得到的序列長(zhǎng)度為i，且為上升序列.又因?yàn)?/span>D[i] > A[j + 1]，所以我們可以把D[i]更新為A[j +1].此時(shí)，處理完A[j +1]后，len是A[1],A[2],··· ,A[j +1]最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度且對(duì)于1 ≤ i ≤ len，D[i]則是A[1],A[2],··· ,A[j + 1]中所有長(zhǎng)度為i的上升序列的的最后一個(gè)數(shù)的最小值這個(gè)命題時(shí)成立。

根據(jù)上面的兩種情況的分析，我們可以得出以下結(jié)論，當(dāng)t = j歸納命題成立時(shí)，t = j+1命題

也成立。由上面的分析可以推出：對(duì)于1 ≤ t ≤ n,當(dāng)我們處理完A[t]時(shí)，len是A[1],A[2],··· ,A[t]最

長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。且對(duì)于1 ≤ i ≤ len，D[i]則是A[1],A[2],··· ,A[t]中所有長(zhǎng)度為i的上升序列的的最后一個(gè)數(shù)的最小值。

算法性能分析

在上述算法中，若使用樸素的順序查找在D[1],··· ,D[len]查找，由于共有O(n)個(gè)元素需要計(jì)算，每次計(jì)算時(shí)的復(fù)雜度是O(n)，則整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n²)，與原來(lái)的算法相比沒(méi)有任何進(jìn)步。但是由于D[]的特點(diǎn)(2)，我們?cè)?/span>D[]中查找時(shí)，可以使用二分查找高效地完成，則整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度下降為O(nlogn)，有了非常顯著的提高。

算法拓展

上面所說(shuō)的算法可以在O(nlogn)時(shí)間內(nèi)得到A[]的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度，但是我們得到的最后的D[]序列一般來(lái)說(shuō)并不是符合條件的最長(zhǎng)上升子序列。為了得到一個(gè)最長(zhǎng)上升子序列，我們需要對(duì)原有的算法做一點(diǎn)修正，即用F[t]來(lái)記錄A[1],··· ,A[t]的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。這個(gè)操作可以在每次處理完A[t]之后，進(jìn)行F[t] = len這個(gè)賦值操作來(lái)完成。我們可以在O(n)時(shí)間內(nèi)得到F[]，在我們得到F[]后，我們可以在O(n)的時(shí)間內(nèi)找到一個(gè)最長(zhǎng)上升子序列，方法如下。

初始化階段：我們從右到左遍歷數(shù)組來(lái)找到A[i] = D[len]的i，然后用一個(gè)鏈表L從頭部插入A[i]。
遍歷階段:從右向左繼續(xù)遍歷來(lái)找到一個(gè)j，使得F[j] = F[i] ? 1且A[j] < A[i]，將A[j]從頭端插入鏈表L，然后更新i = j。
并判斷F[i] = 1是否成立，如果成立則進(jìn)入輸出階段，否則繼續(xù)迭代遍歷.
輸出階段:從頭到尾遍歷輸出L。

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問(wèn)題描述