【題頭】
簡諧運(yùn)動是最簡單、最基本的機(jī)械振動，如果一個做機(jī)械振動的物體的回復(fù)力與偏離平衡位置的位移大小成正比，而且方向與位移方向相反（即滿足：F=?kx，k為常數(shù)），就能判定它是簡諧運(yùn)動。彈簧振子、單擺等是我們熟悉的簡諧運(yùn)動，還有哪些機(jī)械運(yùn)動是簡諧振動呢？請看下面的例題。
【例題1】
“雙彈簧振子”的運(yùn)動。
如圖所示，將兩個勁度系數(shù)分別為k1和 k2的輕質(zhì)彈簧套在光滑的水平桿上，彈簧的兩端固定，中間接一質(zhì)量為m的小球，此時兩彈簧均處于原長?，F(xiàn)將小球沿桿拉開一段距離后松開，小球以O為平衡位置往復(fù)運(yùn)動。請證明小球所做的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動。
【解析】
當(dāng)小球向右運(yùn)動到任意位置C，離開O的位移為x，此時小球受到兩個彈力F1、F2，方向沿x軸負(fù)方向，如圖所示。
兩個力的合力即為小球的回復(fù)力，即F=?(F1+F2)=?(k1x+k2x)=? ( k1+k2)x，其中k1+k2為常數(shù)，所以F與x成正比?；貜?fù)力F沿x軸負(fù)方向，位移x沿x軸正方向，F與x方向相反。由此證明小球所做的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動。
【例題2】
“類單擺”運(yùn)動。
如圖，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球在光滑的圓弧面上振動，圓弧面所在圓周的半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圓弧的長度，試證明小球的運(yùn)動可以視為簡諧運(yùn)動。
【解析】
設(shè)小球質(zhì)量為m，圓弧的半徑為R，小球相對平衡位置的位移為x.
小球的重力沿切線方向的分力是小球沿圓弧振動的回復(fù)力F回=mgsinθ
當(dāng)半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圓弧的長度時，θ很小，小球位移的大小與θ角所對的弧長及θ角所對的弦都近似相等，因而sinθ≈x/R，且位移方向與回復(fù)力方向相反，所以回復(fù)力為F回=?mgx/R，所以小球的運(yùn)動可以視為簡諧運(yùn)動。
【例題3】
電場中的簡諧運(yùn)動。
如圖所示，M、N是真空中兩個電荷量均為+Q的固定點(diǎn)電荷，它們間的距離為2L，O是MN連線的中點(diǎn)。一電荷量為+q的帶電粒子放置在M、N連線上的P點(diǎn)，P、O間的距離為d.已知靜電力常量為k，不計粒子重力。
現(xiàn)將帶電粒子從P點(diǎn)由靜止釋放，若d<>，帶電粒子所做的運(yùn)動能否視為簡諧運(yùn)動？試分析說明。
【解析】
帶電粒子由靜止釋放后，將以O為平衡位置振動。以O為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)軸。
當(dāng)帶電粒子相對坐標(biāo)原點(diǎn)的位移為x時，帶電粒子所受的電場力：
由題意可知，x<>，則
所以，當(dāng)d<>時，帶電粒子的運(yùn)動可視為簡諧運(yùn)動。
【品析】
一個運(yùn)動是否是簡諧運(yùn)動，除了用F=?kx來判斷外，也可以通過簡諧運(yùn)動的特征來分析。如簡諧運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程x=Acosωt；簡諧振動的周期滿足
【拓展1】
圓周中的簡諧運(yùn)動。
當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)以角速度ω做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，如圖所示。請分析論證小球在x方向上的分運(yùn)動是否符合簡諧運(yùn)動的特征。
【解析】
質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，在B點(diǎn)將速度分解，如圖所示。
A點(diǎn)速度v0沿x正方向，所以v0即為x方向上經(jīng)過平衡位置O點(diǎn)的速度。
B點(diǎn)速度沿x方向的分量為vx= v0sinθ①
B點(diǎn)在x方向的投影x= Rcosθ②
B點(diǎn)加速度沿x方向的分量為：ax =?Rω2cosθ③
由牛頓第二定律可得：Fx =max=?mRω2cosθ④
由②④得：Fx= ?mω2x，其中的mω2對于勻速圓周運(yùn)動是不變的，說明小球在x方向上的分運(yùn)動是簡諧運(yùn)動。
也可以采用如下方法來分析：
將①②兩式兩邊平方并相加
整理后得
因v-0和R均不變，所以式中
【拓展2】
當(dāng)一個較為復(fù)雜的物理過程，在某一方面的特征與一個簡單的物理過程特征相同時，我們可以通過研究簡單物理過程的規(guī)律了解復(fù)雜的物理過程。如對平拋運(yùn)動的研究可以轉(zhuǎn)化為研究豎直方向和水平方向的直線運(yùn)動。
小球在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，則小球在水平地面上形成投影的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動，這是可以證明的結(jié)論。設(shè)小球的質(zhì)量為m，角速度為ω，半徑為A，從開始計時經(jīng)時間t小球位置如圖所示。
a．取過圓心O水平向右為x軸，則小球的位移在x軸方向上的分量可表示為x=Asinωt。以此為例，寫出小球在x軸方向的速度vx、加速度ax及合外力Fx隨時間t的變化關(guān)系。
b．物體做簡諧運(yùn)動時，回復(fù)力應(yīng)該滿足F=－kx，則反映該投影是簡諧運(yùn)動中的k值是多少？
【解析】
a．對勻速圓周運(yùn)動，線速度v=ωA，向心加速度a=ω2A，合外力F=mω2A。
在x軸方向上，有：
b．小球在x軸方向上為簡諧運(yùn)動，故Fx=－kx，所以k=mω2
【小試牛刀】
如圖所示，一個半徑為R、電荷量為+Q的均勻帶電圓環(huán)固定在真空中，環(huán)心為O，MN是其中軸線?，F(xiàn)讓一電荷量為?q、質(zhì)量為m的帶電粒子從MN上的P點(diǎn)由靜止釋放，P、O間的距離為d.不計粒子重力。試證明：當(dāng)d<>時，帶電粒子做簡諧運(yùn)動。
