吶，好久不見有沒有想我??！
舉手手：沒有！而且你說好的要寫的系統(tǒng)理論的萬字長文還欠著呢！
這次呢，之所以想到寫馬爾科夫，是因?yàn)樗河挚匆娏艘恍┖猛娴念}目。
而且借助工具之前喜歡的數(shù)列方法就顯出差距來，并且也打算真正分享一些有用的東西。長話短說，先看題目。
不要被題目各種奇怪的矩陣和看著高大上的術(shù)語嚇到，我們一步一步來分析這個(gè)看似高大上實(shí)則只要3步就能輕輕松松解決的裝X知識點(diǎn)。
首先，我們還是得先看下馬爾科夫鏈的介紹：同馬爾可夫鏈，因安德烈·馬爾可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是指數(shù)學(xué)中具有馬爾可夫性質(zhì)的離散事件隨機(jī)過程。該過程中，在給定當(dāng)前知識或信息的情況下，過去（即當(dāng)前以前的歷史狀態(tài)）對于預(yù)測將來（即當(dāng)前以后的未來狀態(tài)）是無關(guān)的。（一字不差復(fù)制粘貼。）
這個(gè)介紹一共分2個(gè)部分：
1. 因?yàn)槭邱R爾可夫研究出來的，所以就叫馬爾科夫鏈了（看見沒，大佬們就喜歡這些噱頭，以后我也……扯遠(yuǎn)了扯遠(yuǎn)了）。
2. 指數(shù)學(xué)中具有馬爾可夫性質(zhì)的離散事件隨機(jī)過程。這句話有3個(gè)關(guān)鍵詞：馬爾可夫性質(zhì)，離散事件，隨機(jī)過程。
離散事件，隨機(jī)過程就不用水字?jǐn)?shù)解釋了。那么什么是馬爾可夫性質(zhì)呢？拿強(qiáng)化來說，一把7級的武器強(qiáng)化的各種概率和之前的強(qiáng)化過程無關(guān)，即不管你上一次強(qiáng)化是成功失敗都不影響這一次的概率。
真是淺顯易懂！
所以，我們在使用馬爾科夫方法計(jì)算的時(shí)候一定要注意類似保底之類的機(jī)制。
但是在有保底之類的機(jī)制時(shí)我們?nèi)匀豢梢允褂眠@種方法,因?yàn)橛斜５讜r(shí)我們?nèi)钥梢缘玫酱_切的概率轉(zhuǎn)移矩陣，與馬爾可夫性質(zhì)是不沖突的。
接下來，讓我們看看X格滿滿的馬爾可夫究竟如何算出期望。
第一步：一步概率狀態(tài)矩陣
也就是題目說的初始狀態(tài)。
好的，列完了，我們將這個(gè)矩陣先稱為矩陣A，進(jìn)入下一步。
不過考慮到文章字?jǐn)?shù)也是評判作者水平的參數(shù)之一，我決定解釋一下。
好的，解釋完了，我們進(jìn)入第二步。
第二步：N步概率狀態(tài)矩陣
首先，我們已經(jīng)知道了矩陣A就是強(qiáng)化一次后的結(jié)果。
舉手手：華策華策，可是我們并沒有經(jīng)過強(qiáng)化的計(jì)算啊！
Na?ve！我們不要被題目所迷惑，因?yàn)槲覀兊某跏紶顟B(tài)其實(shí)是這樣的：
將真·初始狀態(tài)的單位矩陣記為E, 而我們的所謂的初始狀態(tài)：
初始狀態(tài)=真·初始狀態(tài)×一步概率狀態(tài)矩陣
A1 = E×A = A
已經(jīng)經(jīng)過一次計(jì)算了。
真是淺顯易懂！
那么我們強(qiáng)化2次的概率怎么計(jì)算呢？
A2 = E×A×A = A2
真是簡單直接！內(nèi)部的邏輯雖然精妙但理解起來并不復(fù)雜，得到的A2對應(yīng)的每一個(gè)元素都對應(yīng)著一個(gè)初始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的概率。并且其結(jié)果正是我們利用數(shù)列計(jì)算所得的結(jié)果！
所以，依此類推，第n次的概率狀態(tài)矩陣即為：
An = An
這就是數(shù)學(xué)的魅力啊！我們順利進(jìn)入第三步！
第三步：期望
這時(shí)候請?jiān)试S我搬出期望計(jì)算公式：
離散型：
連續(xù)型：
舉手手：華策華策，這兩種期望怎么選擇呢？
問得好，還記得馬爾科夫的三個(gè)關(guān)鍵詞嗎？是的，馬爾可夫預(yù)測的是離散事件。
所以我們選取離散型的期望計(jì)算公式，其中Xk即為強(qiáng)化的次數(shù)，Pk即為強(qiáng)化次數(shù)對應(yīng)的概率。而且在我們游戲設(shè)計(jì)中的期望計(jì)算也大多是離散型的，而且掌握了馬爾科夫后離散型的期望計(jì)算也不用借助公式采取連續(xù)性的積分求解了。
棒棒噠！
以題目要計(jì)算的0級到3級的期望為例，我們直接?。?/p>
其中：Pn即為Pnij (i=0,j=3)
舉手手：華策華策，為什么要特地把n=150提出來呢？
問得好，還記得馬爾科夫的三個(gè)關(guān)鍵詞嗎？是的，馬爾可夫預(yù)測的狀態(tài)是獨(dú)立不受之前狀態(tài)干擾的，而第150次強(qiáng)化必定達(dá)到3級一步概率狀態(tài)矩陣與之前不同，所以不能算到150。其實(shí)可以寫在一起，但是為了避免出錯(cuò)強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我把它寫到求和公式外面了。
這里我們就不考慮0級能不能一步3級的問題了，我們假定他，能！任性！
所以我們只把第150次排開。
那么第150次如何計(jì)算呢？
讓我們先計(jì)算出第149次的狀態(tài)矩陣：
好的，列完了，我們將這個(gè)狀態(tài)概率矩陣先稱為矩陣A149。
由于第150次必定升到3級，所以此時(shí)的一部狀態(tài)方程為：
我們將這個(gè)一步狀態(tài)概率矩陣先稱為矩陣λ150。
所以A150= A149×λ150
所以，馬爾科夫就靠每一個(gè)狀態(tài)的狀態(tài)矩陣和每個(gè)狀態(tài)間的概率轉(zhuǎn)移矩陣鏈接在一起。（妙啊，有沒有想起區(qū)塊鏈？）
也即：
PS：這里要注意矩陣叉乘時(shí)的前后順序。
理解了馬爾科夫的原理，包括保底在內(nèi)包括之前每10秒刷新的BUFF題在內(nèi)的各種概率題我們都可以迎刃而解了。所以覺得數(shù)列看著頭大的朋友們，我們一起看馬爾科夫吧！
好的，我們回到題目，發(fā)現(xiàn)問題已經(jīng)解決了，以后大家就可以光明正大地裝X了，馬爾科夫這么簡單怎么可能不會！所以，我們總結(jié)一下，遇到這種筆試題，不要慌，隨便寫。作為一個(gè)策劃，一定要能扯，會扯，扯得有逼格。
所以，我們這篇文章已經(jīng)看完一半了！剩下的問題就是如何快速地計(jì)算出An或者說如何快速地得到一個(gè)矩陣的冪呢？
在爬過了諸多巨坑后，目前Excel計(jì)算矩陣冪運(yùn)算的方法有如下幾種：
1. 運(yùn)用公式將1*16的單元格區(qū)域構(gòu)造為4*4的內(nèi)存數(shù)組計(jì)算后再利用sumproduct取出值（失敗了一部分，而且公式極度復(fù)雜= =，有函數(shù)大佬讀到此處請不吝賜教！）
2. 拉n*4=n的矩陣表（禁言大佬情誼演示，但是我丑拒了……）：
3. MMult公式嵌套
a) 這里要注意，Excel中MMult是叉乘，SUMPRODUCT是點(diǎn)乘。
b) Excel中power函數(shù)與^的作用是一致的，不能夠用來計(jì)算矩陣的冪。
4. Excel自帶迭代計(jì)算（禁言大佬情誼演示，但是我依然丑拒了……）
5. 數(shù)據(jù)-規(guī)劃求解
6. 插件法
7. 自定義函數(shù)
8. VBA循環(huán)
9. 外接小程序（算了，好像還不如寫VBA…）
10. 選其他各種語言也可以（算了，好像還不如寫VBA…）
11. 選matlab（好主意?。?/p>
其中最簡單方便的應(yīng)該是自定義函數(shù)。
好的，寫完了，果然簡單方便，棒棒噠！
好的，測試了下完美運(yùn)行，棒棒噠！
已經(jīng)得到了如此詳盡的表格，期望算起來自然是手到擒來，易如反掌，如探囊取物，唾手可得，輕而易舉便可算出！
好的，算完了，棒棒噠！
不過初嘗馬爾科夫，寫個(gè)10000000次循環(huán)模擬驗(yàn)算一下也是可行的。
好的，寫完了，棒棒噠！
好的，運(yùn)行后結(jié)果幾乎沒有誤差，棒棒噠！
當(dāng)然，如果每過一段時(shí)間概率矩陣變化會較大的話，建議采用另一種格式，當(dāng)然也就不需要自定義函數(shù)了，而且并不會丑拒！
好的，測試了下完美運(yùn)行，棒棒噠！
不過借助自定義函數(shù)或是lookup還是可以將表構(gòu)造成之前計(jì)算期望的表格，棒棒噠！這里就贅述了。
本文特別感謝：禁言大佬，從半夜12點(diǎn)多陪著我扯皮，一直陪我到早上6點(diǎn)把文章都寫好了，真是感動游戲圈的情誼。
扯皮內(nèi)容大概是這樣的：
00：30
大佬：其實(shí)你可以不用函數(shù)。
我：打死我也不會點(diǎn)開VBA的！
01：00
我：我找到了一個(gè)插件！但是要money……
大佬：我覺得……
我：打死我也不會點(diǎn)開VBA的！
01：30
我：我想到了一個(gè)絕妙的公式！可惜這里空白的地方太小，寫不下……
大佬：我覺得……
我：打死我也不會點(diǎn)開VBA的！
2：00
我：我決定去下matlab……
大佬：我覺得……
我：打死我也不會點(diǎn)開VBA的！
2：30
大佬：我覺得……（順帶發(fā)擼貓截圖）
我：打死我也不會點(diǎn)開VBA的！
3：00
大佬：我覺得……
我：VBA真好用！
順便下次要改個(gè)標(biāo)題：99%的人都能學(xué)會的馬爾科夫！
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